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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le problème de Dirichlet. ISote (') 

 de M. H. Lebesgue, préserilée par M. Appell. 



On connaît la méthode de M. Hilbert pour la recherche d'une fonction 

 rendant minimum l'intégrale 



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Dans des recherches sur l'aire des surfaces (-), j'avais été conduit à 

 employer la remarque suivante : 



Si des surfaces simplement connexes en nombre infini sont limitées par 

 un contour fixe, ou par des contours tendant vers un contour fixe, si leurs 

 aires sont inférieures à un nombre fixe et si, sur tout morceau limité par 

 un contour dont le plus grand diamètre est d, la distance maximum de deux 

 points tend vers zéro avec d, on peut parmi ces surfaces en choisir une 

 suite tendant uniformément vers une surface limite. 



La publication de la Note (^) que M. Hilbert avait présentée en sep- 

 tembre 1899 au Congrès de Munich m'a fait comprendre quel parti on 

 pouvait tirer de ma remarque; c'est ce que j'ai indiqué dans deux Notes 

 des Comptes rendus (''). 



Mais on peut aller plus loin quand on utilise les méthodes indiquées par 

 M. Hilbert dans son Mémoire Veher das Dirichlet' sche Prinzip (^). 



Je considère un domaine D du plan des {x,y) limité par un contour C; 

 une succession continue de valeurs est donnée sur C. Je cherche le mini- 

 mum de I(«) pour les fonctions continues dans D et sur C et prenant surC 

 les valeurs données. Cette intégrale étant étendue à l'ensemble des points 



(') Présentée dans la séance du 4 février "1907. 



(^) Sur la déjiniiion de V aire d' une surf ace {Comptes rendus, 27 nov. 1899). 



{■^)Jahr. der deuts. Mat. Ver., t. VllI, 1900, p. 117 el Nouv. Ann. de Math., 

 3« série, t. XIX, août 1900, p. 837. 



(*) Sur la définition de certaines intégrales de surface (26 nov. 1900); Sur le 

 minimum de certaines intégrales (3 déc. 1900). Voir aussi le dernier Chapitre de ma 

 Thèse, Intégrale, Longueur, Aire {Annali di Mat., 1902). 



(^) Feslschrift zur Feierdes V60-/â/ir. Besteh.der K. G. d. W . zu Gôttingen, 1901 

 {Math. Ann., t. LIX, 1904)- 



