SÉANCE DU II FÉVRIER I907. 3l'] 



intérieurs à D, les points de C sont exclus (' ). Pour tenir compte d'une 

 remarque de M. Hadamard (-), je suppose que les conditions aux limites 

 sont vérifiées par un polvnome, auquel cas il existe bien des inté- 

 grales T(w). Cela ne nous empêchera pas de démontrer pour tous les cas le 

 théorème d'existence d'une fonction harmonique prenant des valeurs don- 

 nées au contour, pourvu que nous employions un artifice bien connu de 

 M. Paraf. 



. La remarque énoncée plus haut permet de trouver des surfaces 

 z=^Uf(cc,y), z = ii.,(^x, y), ... tendant vers une surface limite; mais 

 cette surface n'est peut-être pas de la forme r- = ç^(x,y), car elle contient 

 peut-être des segments parallèles à Oz. Si l'on veut encore représenter la 

 surface par z = ç(^x, y), il y a des points de discontinuités où v est indéter- 

 mitiée entre certaines limites. 



Tout d'abord, la singularité en question ne peut jamais se présenter en 

 un point A de C s'il est possible de mener par A une droite A n'ayant 

 avec C que le point A de commun. En effet, à condition peut-être de par- 

 ticulariser la fonction donnée sur C, ce qui est sans importance, on peut 

 supposer que le contour commun de toutes les surfaces a un plan tangent 

 non parallèle à O:;, au point dont A est la projection. Par l'intersection de 

 ce plan tangent avec le plan parallèle à Oz et passant par A on peut faire 

 passer tleux plans <p,, «pa ^^^ parallèles à O-, entre lesquels est le contour 

 commun des surfaces z = iiii^x, y) et, par suite aussi, ces surfaces et leur 

 surface limite. 



Or on peut ramener le cas général au cas particulier qui vient d'être 

 étudié. Si l'on remarque que la quantité à intégrer est toujours au moins 

 égale au carré de la dérivée de u prise dans une direction quelconque, on 

 démontrera, par un calcul élémentaire, que les directions issues d'un point 

 P et le long desquelles les fonctions 11^ ne tendent pas vers une limite con- 

 tinue en P forment un ensemble de mesure nulle. Par suite, par tout point P 

 intérieur à D, on peut toujours mener "trois demi-droites divisant D en 

 trois secteurs ayant P pour sommet, l'angle au sommet étant inférieiu" à tt, 

 et telles que, sur ces droites, la singularité ne se produise pas en P. Donc 

 la singularité eu question ne se produit en aucun point intérieur à D. 



('j On obtient d'ailleurs la même surface potentielle limite en étendant l'inté- 

 grale I(m) aux points de D + C, lorsque la nature de la fonction donnée sur (] le 

 permet. 



(-) Sur le principe de Dirichlet{Bul. de la Soc. math, de France, t. XXXIV, 1906). 



