3l8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Ce raisonnement suffit aussi pour les points du contour C en lesquels il 

 n'y a pas de singularité ou seulement des singularités ordinaires, mais cela 

 serait insuffisant j^our l'origine des coordonnées si ce point faisait partie 

 de C et que l'un des arcs de C fiit la spirale hyperbolique poj = i . 



Pour traiter le cas général il suftit de remarquer que les directions issues 

 de P et le long desquelles la singidarité indiquée se produit forment un 

 ensemble de mesure nulle, même quand on tient compte des directions 

 qui ne sont pas tout entières contenues dans D au voisinage de P, mais qui 

 ont des points intérieurs à D et aussi voisins que l'on veut de P. Alors, pour 

 tout point P de C, on peut mener des droites divisant le plan en secteurs 

 d'aneles inférieurs à tt et divisant D en un nombre fini ou infini de domaines 

 partiels; il suffit de résoudre le problème de Dirichlet pour chacun de ces 

 domaines partiels et de remarquer que, pour tous les domaines d'un même 

 secteur, on peut considérer les valeurs sur les contoiu's comme limites de 

 valeurs pour lesquelles il existe deux plans passant par P et jouant le rôle 

 des plans Q,, Qo précédemment considérés. 



Celte méthode permet de démontrer l'existence d'une fonclion harmonique 

 dans un domaine et prenant des imlears continues données à la frontière, sans 

 aucune restriction. Rien à changer d'adleurs si, au lieu d'une seult^ courbe 

 frontière du domaine fini, il y en avait plusieurs ou même une infinité; 

 auquel cas les valeurs données, continues sur les contours, devraient aussi 

 appartenir à une fonction continue dans le plan. 



En terminant je dois signaler des travaux récents sur le même sujet, 

 dus à MM. Beppo Levi et Guido Fubini et dont la lecture m'a été fort 

 utile C). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la non-appUcabiUté de deux continus à n 

 et n + p dimensions. Note de M. René Baire, présentée par M. P. Appell. 



Je suis parvenu à démontrer d'une façon complètement générale ['im- 

 possibilité d'établir une correspondance biunivoque , réciproque et continue 

 entre les points de deux domaines continus à n et m dimensions , si m^ n. En 

 adoptant le langage de la théorie des groupes, cela établit l'invariance du 



(^) Voir Rend, del Cire, di Palermo, t. XXII et XXIll, igo6 et 1907. 

 M. Fubini m'écrit qu'il vient de puJjlier une nouvelle Note sur le même sujet, dans 

 les Atti dei Lincei. 



