SÉANCE DU II FÉVRIER 1907. 3l9 



nombre des dimensions d'un continu par rapport au groupe de toutes les trans- 

 formations hiunivoques continues. Cette proposition, malgré son apparence 

 intuitive, n'a été démontrée jusqu'ici que dans des cas particuliers; 

 M. Lûrofh, qui s'en est occupé à plusieurs reprises, l'a établie récemment 

 {Math. Annalen. 1906), dans le cas où l'un des continus est à une, deux ou 

 trois dimensions. D'ailleurs l'exemple de la courbe de M. Peano, qui réalise 

 une correspondance continue (mais non biunivoque) entre deux conlinus 

 à une et à deux dimensions, fait comprendre le genre de difficultés que 

 l'on rencontre dans cette étude. 



Définitions. — Entre deux ensembles fermés de points : E, situé dans 

 l'espace à n dimensions G„, et F, situé dans G^, il y a application s'il existe 

 entre leurs points une correspondance biunivoque et réciproque telle que, 

 A étant un point variable de l'un quelconque des ensembles, tendant vers 

 un point limite A^,, le correspondant de A {image de A) tend vers le corres- 

 pondant de Aq. 



Deux ensembles pris dans E et dans F et tels que tout point de l'un a 

 son image dans l'autre seront dits images l'un de l'autre. Un ensemble 

 fermévi. pour image un ensemble yer/we. 



Lemme de la continuité uniforme. — Soit deux ensembles fermés bornés, 

 E dans G„ , F dans G,„ , eîitre lesquels il y ci application . Soit a ^ o ; on consi- 

 dère tous les couples de points A, A' </e E tels que : distance A^A'lioi; la borne 

 supérieure p(ct) des nombres : distance BB', B et B' étant les images de A et A' 

 dans F, tend t^ers o ai^ec a. 



Il s'agit de démontrer le théorème suivant : 



I. // ne peut y avoir d'application entre deux ensembles fermés : E de G„, 

 F de G;^+/, (/? ^ I ) , si F contient tous les points d'une sphère à n -\-p dimen- 

 sions. 



Ce théorème se ramène assez simplement au suivant : 



II. Dans un même espace G„, soit V et\i deux ensembles applicables, P étant 

 constitué par une sphère à n dimensions {intérieur et surface^ Tout point 

 intérieur àV a pour image un point intérieur an. (Un point est dit intérieur 

 à un ensemble fermé n de G„ s'il est centre d'une sphère à n dimensions 

 dont tous les points font partie de H.) 



J'indique la marche générale de !a démonstration du théorème II, en 

 supposant d'abord, pour simplifier, n = 2. Il y a tout d'abord lieu de faire 

 une étude de la notion d'intérieur et d'extérieur relatifs à un contour poly- 

 gonal fermé; cette étude se fait en adoptant le point de tlépart de M. Gui- 

 chard {Géométrie, chapitre traitant de la Géométrie de situation). Si fj est 



