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un contour polygonal plan fermé, ayant ou non des points de croisement, 

 si M est un point du plan non situé sur L, une demi-droite variable passant 

 par M coupe L en un nombre de points toujours pair ou toujours impair; 

 M est extérieur à L dans le premier cas, intérieur dans le second. Tout point 

 intérieur (extérieur) est centre d'un cercle dont tous les points sont inté- 

 rieurs (extérieurs) à L. Le segment qui joint deux points, l'un intérieur, 

 l'autre extérieur à L, contient au moins un point de L. 



Soit maintenant 1 un ensemble applicable sur un cercle S; nous dirons 

 que D est une courbe fermée simple. Inscrivons dans S une ligne polygonale 

 de côtés moindres que s, soit ab...ha', joignons les points correspon- 

 dants A, B, . . . , HA de 2 dans le même ordre; nous constituons un contour 

 polygonal fermé 1^ qui joue le rôle de représentation approchée de 2, et dont 

 on peut dire qu'il tend vers 2) si e tend vers o. Si M est un point du plan 

 non situé sur 2, quand s est assez petit, M est constamment à l'intérieur 

 de De, ou constamment à l'extérieur; cela permet de définir l'intérieur et 

 l'extérieur de H : un point est intérieur (extérieur) à 1 s'il est intérieur 

 (extérieur) à D^ quand s est assez pet-t. 



On peut montrer que si 2 et D' sont deux courbes fermées simples, et si 

 l'on peut les appliquer l'une sur l'autre de manière que deux points corres- 

 pondants soient distants de moins de s, tout point du plan dont la distance 

 à l'une des courbes surpasse 2e est, ou bien intérieur aux deux, ou exté- 

 rieur aux deux. 



Cela posé, soit P un cercle (intérieur et contour) de ravon un, et de 

 centre O, applicable sur un ensemble plan n. Soit Sp(o^p£i) la circonfé- 

 rence de centre O et de rayon p, soit 2p l'image de Sp : Il est constitué par 

 l'ensemble des points appartenant aux diverses courbes 1^. 



Considérons d'abord 1^, qui correspond à la frontière S, de P; il y a, 

 pour 1^, un intérieur. Je démontre que tout point intérieur à 2, Jait 

 nécessairement partie cleïl; si cela n'était pas, on trouverait un cercle y de 

 rayon positif r, dont tous les points' seraient intérieurs à 2,, et dont aucun 

 point ne ferait partie de H. Or, considérons 2p, p variant d'une manière 

 continue; on peut montrer que, 2p variant dans ces conditions, un point 

 fixe du plan ne peut passer de l'intérieur à l'extérieur de 2p qu'en se trou- 

 vant pour une certaine valeur de p sur la courbe Dp elle-même. D'autre 

 part, quand p est assez petit, le cercle y ne peut être qu'extérieur à 2p, 

 tandis que, quand p est voisin de i, y est intérieur à 2p; chaque point de y 

 devrait donc appartenir a une des courbes 2p, par suite à II, contrairement 

 à l'hypothèse. Il résulte de là que tout point intérieur à 2, appartient à II. 



