SÉANCE DU iS FÉVRIER T907. 367 



OÙ ^^""^z) =g(z), o-'^^^z) est la dérivée q'^"'^ de g'(z), t, est arbitraire avec 

 (k, , T, ) > (k, , t), et, si k^ = A- = o, T, >(^ + 2) T. 



II. De même, les méthodes de M. P. Boutroux jDermettent d'obtenir 

 simplement une limite inférieure du maximum m^^j du module de ^^^'(s) 

 sur une infinité de circonférences C ayant pour centre l'origine et remplis- 

 sant des couronnes d'épaisseur totale infinie, dans le domaine de s = 00 : 



1° Quand F(s) n'a pas de pôles à distance finie dans le domaine (fonc- 

 tion quasi-entière dans ce domaine); si l'ordre réel, supposé non transfini, 

 deF(5) est ^(y?:, p), on a (2)77?^^> ^ki^'^) (c fixe arbitraire <;p quand ^^ o, 

 (7 fixe arbitraire <^ p — <^ — i quand ^ = o). Soit <p(s) le produit canonique 

 ayant pour zéros les zéros de F(5). 



2*^ Dans le cas général de (i) (fonction quasi-méromorphe), soient 9,(2), 

 (p2(s) les produits canoniques d'ordres non transfinis et supposés diffé- 

 rents (/r,, p,), [k.^, P2), formés des zéros et des pôles de Q(z); si (X;, p) est 

 arbitraire et compris entre (k, , p,) et (k.,, p^), on a encore (2) m^^'^ ^a('*^)« 

 Soit 9(-) celui des deux produits <p,, Ça dont l'ordre est le plus grand. 



Dans les deux cas, lorsque 9(^) a sa croissance régulière, (2) a lieu pour 

 toute valeur de /' assez grande. 



m. La propriété I permet d'améliorer les limites supérieures de crois- 

 sance que j'ai indiquées (Annales de l'Ecole Normale, 1906, p. 33 1) pour les 

 modules des solutions du système 



~Tr ^^^ ^ii^\ ~t~ • • • ~H ^in "^n (^^ = 1, 2, ■••, flj, 



OÙ les aij sont des fonctions quasi-méromorphes d'ordre ^(^, p) dans le 

 domaine de 5 = co et satisfaisant à (i). 



IV. Ces résultats, et d'autres analogues, paraissent devoir s'étendre aux 

 fonctions entières les plus générales d'ordre transfini. Je puis l'affirmer 

 pour les produits canoniques P de facteurs primaires; en dehors de cercles 

 de rayons assez petits décrits autour de chaque zéro cocnme centre, on a 

 une limite inférieure simple du module de P, comme pour le cas où P est 

 d'ordre non transfini (A. E. N., 1906, p. 287). Néanmoins, c'est là un sujet 

 que je laisse à d'autres le soin de développer (' ). 



(') Incidemment, je mentionnerai : 



1° Que la fonction /(2)/(^e''^), avec /(s) =e'=^^ — e-'-^ (p entier), a son module 



