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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la croissance ries intégrales des équations 

 différentielles du premier ordre. Note de M. Pierre Boutroux, présentée 

 par M. I^oincaré. 



Considérons l'équation différentielle 



où P et Q sont des polynômes par rapport à a? et y. En général, les inté- 

 grales de l'équation (i) présenteront à l'infini une singularité transcen- 

 dante. Gomment faire l'étude de cette singularité? Il conviendra, semble-t-il: 

 \° d'étudier, au voisinage de a? = co, l'allure d'une branche d'intégrale; 

 2° dans le cas où une infinité de branches s'échangent entre elles au voisi- 

 nage de l'infini, de rechercher par quel mécanisme se fait cet échange. 



Pour traiter en détail ces deux questions, et tout d'abord la première, il 

 y aura lieu de distinguer un grand nombre de cas et de sous-cas. On peut 

 néanmoins énoncer sur la croissance des branches d'intégrales de l'équa- 

 tion (i) quelques théorèmes généraux qui fourniront une première indica- 

 tion sur l'allure prise par ces branches lorsque x s'éloigne indéfiniment. 



Soient/? et q les degrés par rapport à y des polynômes P et Q. Appelons, 

 d'autre part, {x la différence des degrés en x des coefficients bp et a^. 



Nous ferons successivement les hypothèses suivantes : 



^ e!^''^ ( [X, i]> constantes, rz= [2 j) quel que soit-z, pour une infinité de valeurs de t];, dès 

 que /• est assez grand ; 



2" Que le produit canonique 



: 3^ zl' 



/ ^ \ — + —■;+. .-H r, 



*(^) = II ( I— — (?"" 2"--. /)",'. 



d'ordre fini p > I non entier (p — p <. i) a son module £1 dans un secteur fini S du 

 plan des 2, quand toutes les racines a„ sont comprises dans un certain secteur fini S'. 

 Ainsi, lorsque /? = i, et que l'angle de S' est 90° — 2£ (£fixe>-o), l'angle de S 



est ^26. 



Ceci peut présenter quelque intérêt au point de vue de l'étude des séries divergentes 

 sommables {A. E. IS., 1908, p. 5o6). 



