SÉANCE DU l8 FÉVRIER 1907. 869 



I. Soit p — q = j. L'équaLion (i) est alors de la forme • 



(2) y {a, + rto V + . . . + <^py^''' ) = 6^ 4- . . . + hp}''', 



les a el b étant des polynômes en x. 



J'ai montré ailleurs (*) que, lorsque [;-est positif ou nul(-), l'équation (2) 

 présente des branches d'intégrales de type exponentiel. Voici ce que j'en- 

 tends par là. 



Posons « z= e' » ";- et plaçons-nous à l'extérieur d'un cercle de ravon /• contenant 

 les zéros des polynômes a,,^ bp. Dans ( u + i) angles ayant pour sommet l'origine et 



pour amplitude (a étant un nombre arbitrairement petit) le module de a 



!-t -h I ' 



augmente indéfiniment avec | .r \, tandis que dans (a -h i) angles alternant avec les pré- 

 cédents, ce module tend vers zéro. Appelons A Tun des angles oii j u | est croissant : 

 dans cet angle u est, à partir d'une certaine valeur de |^|, supérieur à e*'^' {k >o). 

 Cela posé, nous prenons dans A un point fixe Xq dont le module est supérieur à cer- 

 tains nombres finis que Ton sait déterminer, et nous considérons une branche dinté- 



k 



grale j)^ dont la valeur initiale en jCq ait un module supérieur à e - " . Il se trouve 

 que cette branche d'intégrale est, au point de vue de la croissance, comparable à l'ex- 

 porentielle u : on peut trouver des nombres positifs À et ).i tels que l'on ait dans l'angle A, 

 pour l.r| > j.col, 



e>-l.vi^-'<|^;<e>Ml-;^"'. 



II. Soityo — ^ 7^ I- Nous distinguerons deux cas, suivant que p — (j <^i 

 ou /? — <7 ^ I . 



Premier cas. — Soit /? — </ •< i, c'est-à-dire qi^p- Dans cette hypothèse, 

 les intégrales^ ne présentent aucun infini à dislance finie. En effet, si l'on 

 pose r = z~\ z satisfait à une équation différentielle dont aucune intégrale 

 (excepté l'intégrale particulière 5 = 0) ne s'annule à distance finie. On 

 peut démontrer, dans ces conditions, qu'une branche d'intégrale quel- 

 conque de (1) croît moins vite qu'une puissance finie de x. 



Pour donner un sens précis à cet énoncé, il faut définir la nature du 

 chemin sur lequel x s'éloigne indéfiniment. J'appellerai chemin direct tout 

 chemin dont la longueur est finie ou qui est transformé par le changement 



(, ' ) Sur quelques propriétés des fonctions entières {Acta mathematica, t. XXVIII). 



("-) Si |x était négatif, il n"v aurait pas lieu d'étudier, pour \x\ très grand, la crois- 

 sance des branches d'intégrales de (2) : car, en général, ces branches ne croîtraient 

 pas indéfiniment avec \jc\ (du moins lorsque [x ■< — i ; il faudrait traiter à part le cas 

 particulier où |x := — i). 



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