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de variable x ==•;"' en un chemin de longueur finie. En d'autres termes, 



si X, x' sont deux points d'un chemin direct, le rapport — - 



X — -r 



est inférieur à un nombre fini k quels que soient les points x et x' . 



Cela posé, appelons n un entier supérieur aux degrés de tous les poly- 

 nômes a et h. On peut démontrer que, lorsque x s'éloigne indéfiniment sur 

 un chemin direct, toute branche d'intégrale de (i) satisfait, à partir d'un 

 certain point de ce chemin, à l'inégalité \y\<^\x \^'^'^ . 



Deuxième cas. — Soit/? — q^j, c'est-à-dire/? — q^i. Dans cette hypo- 

 thèse, les intégrales y ont, en général, des infinis à distance finie. On ne 

 peut donc plus, lorsque x s'éloigne indéfiniment sur un chemin quel- 

 conque, assigner une limite au module de y. Néanmoins, en s'inspirant de 

 la théorie des fonctions méromorphes, on obtiendra quelques renseigne- 

 ments sur la croissance de y. 



Lemme I. — Appelons x,- un infini de l'intégrale y , t un entier supérieur 

 aux degrés des a et b. Je dis que, si | a?, | est supérieur à un certain nombre r, 

 on peut entourer Xi d'un cercle Ci jouissant des propriétés suivantes ; 1" « V in- 

 térieur et sur le contour de c^^ la branche d' intégrale infinie en X( a un module 

 supérieur à \x |<^+'-+-°', a étant un nombre positif arbitrairement petit ; 2° sur le 

 contour de Ci, le même module est inférieur à \x\^'*'*'^'^, ^ étant un nombre 

 positif compris entre % et i; 3° la branche d'intégrale qui est infinie en x, ne 

 présente dans c^ d'autre infini ou point critique que x^. 



On peut donner au rayon de c, la valeur 



^ I ^ ]-;(T+i-t-a')(/'"tf-n-u. 



îf — I ^/ I » 



[j. étant la difïerence des degrés de bp et a^, et x' étant un nombre positif tel 

 que a <^ cff , a. + a'<^ 1 . Le rayon p tend vers zéro avec | ^37,1"', puisque l'on 

 a|[x|<rr, /) — y — ir:i. 



Lemme II. — Soit une branche d'intégrale qui en un point x'- a un module 

 supérieur à \x\\^^'^-^'^. Le point x- est intérieur à un cercle c, relatif à un 

 infini Xi de la branche considérée. 



Considérons alors une branche quelconque j^ et supposons que x s'éloigne 

 indéfiniment sur un chemin direct qui ne pénètre pas dans les cercles c^ 

 relatifs à cette branche. Sur ce chemin \y\ est, [à partir d'une certaine 

 valeur de \x\f inférieur ci \ x \^'^- . 



Est-il toujours possible de suivre un chemin direct qui ne pénètre pas 

 dans les cercles c^? Pour s'en rendre compte, il est avantageux de consi- 



