SÉANCE DU 25 FÉVRIER 1907. 4l3 



nable des limites inférieures des intégrales, à la forme 



(2) ^(u,v,w) = o, 



où 3 désigne l'une, quelconque d'ailleurs, des 64 fonctions abéliennes 

 normales du premier ordre. 



Les surfaces pour lesquelles les coordonnées non homogènes d'un point 

 sont des fonctions uniformes <Ï>(m, (^, w), à six systèmes de périodes, de 

 trois paramètres u, v, w liés par la relation (2), sont des surfaces algé- 

 briques représentant les couples de points de la courbe G, en ce sens qu'à 

 un couple de points de G répond un point de la surface et, réciproquement, 

 à un point de la surface répondent un ou plusieurs couples de points de G. 



En particulier, si les fonctions <î> sont des fonctions paires de u, v, w, 

 à un point de la surface S répondent les deux systèmes de valeurs des 

 arguments (u, v, w) et ( — u, — v, — w) et, par suite, deux couples île 

 points de C situés en ligne droite. 



La présente Note a pour objet d'énoncer quelques théorèmes relatifs 

 à ces surfaces, S(«, v, w). 



Les surfaces S sont de genre trois : leurs surfaces adjointes découpent 

 donc sur elles un système linéaire doublement infini de courbes L. Ge 

 système est de degré trois et la courbe générale L est de genre quatre. \/a 

 considération des intégrales doubles de première espèce 



/ i dudv, I idvdw, j idwdu 



montre immédiatement que l'équation générale des courbes L est de la 

 forme 



/ON d'^{u,v,w) d^{u,v,w) , d'^{u,v,w) 



( 3 ) A r -+- [J. 5 -|- V T O . 



^ -^ OU ^ av un' 



Parmi les surfaces adjointes, celles qui sont tangentes à S forment une 

 famille simplement infinie qui joue un rôle essentiel au point de vue du 

 lien qui rattache la surface S à la courbe G. 



J'établis en effet que, si l'on suppose dans les formules (i) le point 

 x' , y' fixe, les paramètres u, ç, w sont liés par la relation 



^^^ ^ Ju ^y dv "^ d^v -^' 



x' y' vérifiant l'équation f{x',y') = o. 



