4l4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



L'équation (4) définit donc la courbe d'intersection 4^(le la surface S par 

 une surface adjointe particulière. Celle-ci est tangente à S : considérons 

 en effet la tangente à la courbe C au point A'(jr',y'), et soient A^, Ao les 

 points où elle coupe de nouveau la courbe G; au couple (A', A,) et au 

 couple (A', Ao) répond un seul et même point a. de la surface, mais en ce 

 point passent deux branches de la courbe j^ qui correspondent respecti- 

 vement aux positions du point variable (j?, y) voisines de A, et à celles voi- 

 sines de Aj. La surface adjointe est donc tangente à S au point a. 



De là le théorème suivant : 



La condition /Çk, [x^v) = o, gui exprime que la sur/ace adjointe 



\Q, (X, Y, Z) + î..Q,(X, Y, Z) + vQ3(X, Y, Z) = o 



est tangente à S, est une équation algébrique de genre trois, et c'est précisément 

 de la courbe f(\, [j--, v) = o que dérivent les fonctions abéliennes <ï>(w, v, w^ 

 qui définissent la représentation paramétrique de la surface. 



Les surfaces adjointes qui sont tangentes à S découpent sur cette surface 

 une famille simplement infinie de courbes de genre trois et de mêmes modules ; 

 ces modules sont ceux de la courbe fondamentale f(\, jj., v) =: o. 



Ce théorème permet de préciser la correspondance géométrique entre la 

 surface S et la courbe plane ilu quatrième ordre C. A tout point g du plan 

 de la courbe C correspond la section de la surface S par une surface 

 adjointe 2; si le point <7 est situé sur la courbe C la surface 2 est tangente 

 à S. Lorsque le point g décrit une droite A, la surface 5 décrit un faisceau 

 linéaire; aux trois répartitions en deux couples des quatre points d'inter- 

 section de A et de C répondent sur la surface S les trois points bases du 

 faisceau, et, si m^, v^y w^ désignent les arguments de l'un quelconque de 

 ces trois points, les coordonnées de la droite A sont proportionnelles 



du di' âiv 



De cette correspondance découle enfin le théorème suivant : 

 Tout faisceau linéaire de surfaces adjointes à la sur/ace S comprend quatre 

 surfaces tangentes à S; à chacune des trois répartitions en deux couples de 

 ces quatre surfaces correspond un point bien déterminé parmi les trois points 

 bases du faisceau. 



