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478 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Téquation aux dérivées partielles 



''■(' ~ '''^-i^ - [1 + (4v + i)y:'] ^ -h ,/ip(p + 2v)ocj 



+ T^-;?[('~ ■^-) ^ - (• + ^'')-^,iJ = o. 



Supposons ^ = n, n désignant un entier non négatif, l'équation diffé- 

 rentielle (i) admet comme intégrale particulière le polynôme entier 



<- 



— 2 



^ ^^)-r{.)Z .sl{n-2s)l ^^•'') ' 



.« = 



qui figure dans le développement classique 



(i -2a^+ a2)--^= y P^^(a;)7/, |a|< 



X ± \/x^ — I 



5=0 



d'où les expressions particulières 



(3) Iim[r(v)PV'(cosç)]= ^'.^^i^, P',n^ .±i^^+jh., 



tandis que l'hypothèse v = - nous conduira aux fonctions sphériques ordi- 

 naires de Legendre. 



Cela posé, il est très facile de déterminer les |K)lynomes A]''"(a) qui 



figurent dans l'identité 



(4) 



pv,»[^= + (i - ^^)x\=^k:'{^.)\>''''{x). 



.9 = 



qui est toujours valable. 



A cet effet, introduisons dans (2) la somme qui figure au second membre 

 de (4), nous aurons, en vertu de (i), pour la détermination de AJ" (a), 

 cette équation différentielle linéaire 



-(■--=)^-[i + (4v+i)..']^' 



d-x- 



/\n(n -h 2v) 



f. 





y.\,^ O, 



ce qui donnera immédiatement 



AJ'"(a) = a,(i — a2)*F(^ ^/i, S -hn-h 2v, 2^ -h 2v -f- 1 , i — a=^), 



