558 ACADÉMIE DES vSCIENCES. 



Nous avons vu que toute courbe (E) douée d'enveloppe est définie par 

 la condition d'admettre comme tangente, en chacun de ses points P, une 

 génératrice ^p d'un cône Tj, (cône des vitesses) qui a ce point pour sommet. 

 Il en résulte que, si l'on considère toutes celles de ces courbes (E) qui 

 passent par P et y ont t^ pour tangente, les axes de courbure S de ces 

 courbes (relatifs au point P) forment un faisceau dans le plan normal 

 commun IIp : le centre P< de ce faisceau est le point associé. Il y a là un 

 fait général. 



2. Prenons, d'une façon générale, les courbes C qui vérifient une équa- 

 tion de la forme 



(i) f{x, j, z, dx, dy, dz) ^. o, 



ce qui équivaut à dire que la tangente tp en tout point P d'une telle courbe 

 doit être une génératrice d'un certain cône Tp ayant ce point pour som- 

 met. Si l'on envisage les axes de courbure S (relatifs au point P) de toutes 

 celles de ces courbes qui passent par P et v ont la même tangente ty, ces 

 accès de courbure ^forment dans le pian normal commun un faisceau. 

 Si Ton appelle a, p, y les cosinus directeurs de /p, on a 



(2) /(a?, y, c,a, ^,y) = o, 



et l'on trouve aisément que les coordonnées (a;,, y,, z,) du sommet P, de 

 ce faisceau sont données par les formules 



(3) 



X, — JC 



1 — -^ _ Ji — 7 _ iL 



àf <}l 01 ,01 dl , y_l 



da d^ à^( ôx "*~ *" ôy ~^ ' dz 



La droite PP, (que nous appellerons encore (ip") est normale au plan £2p 

 tangent au cône Tp le long de /p; dp" est ainsi la génératrice du cône sup- 

 plémentaire. 



On voit qu'ici encore le cercle décrit sur PP, comme diamètre est le lieu des 

 centres de courbure des courbes C considérées. 



Si l'on a 



(4) a£+p 



•^f , o^f . >>f 



àx ^ dv ^ dz 



= o, 



le point P, est rejeté à l'infini. Les axes S sont alors tous parallèles à la 

 droite dp" et le plan Q,p se trouve être le plan osculateur commun à toutes 

 les courbes C considérées. 



