SÉANCE DU II MARS I907. Sog 



3. Maintenant deux choses peuvent arriver: ou bien l'équation (4) n'a 

 lieu que pour certaines valeurs de a, p, y, ou bien l'équation (4) est une 

 identité. Nous nous attacherons à cette dernière hypothèse. Pour qu'elle 

 ait lieu, il ftiut et il suffît que le cône Tp soit le cône d'un complexe (quel- 

 conque d'ailleurs). 



Dans ce cas, le plan Q^p est toujours le plan osculateur de la courbe, pro- 

 position connue, mais dont la véritable place dans la théorie générale 

 résulte des explications qui précèdent. La proposition énoncée plus haut 

 en est la généralisation directe. 



4. Je vais appliquer ces considérations au problème des lignes d'exten- 

 sion nulle qui peuvent se présenter au cours d'une déformation élastique. 



Si l'on prend des points voisins (x, y, z) (x + dx, y -\- dy, z -\- dz) dont 

 le carré de la distance soit 



(5) ds'-=dx^--hdy--hdz-, 



le carré de cette distance devient, après la déformation, 



( ds] = ds- -i- i(e^ dx^ -h e.^ dy- -h e^ dy- -+- e^ dz'- 

 ^ ^ \ + é^i ^J' ^-- + ^1 ^-- ^^^ + Si ^^ ^y)' 



Les lignes d'extension nulle seront donc définies par l'équation différen- 

 tielle unique 



( 7 ) J = ^\ (J-^' + (^1 ^f' ■+- ^:i (l^--' ■+■ g\ dy dz -h £^^ dz dx + g^dxdy =-o. 



Nous tombons donc sur une équation de la forme (i) et tout ce qui a 

 été dit est applicable à ces courbes. 



Nous nous arrêterons plus spécialement au cas où, parmi ces lignes, il 

 y aurait des lignes droites. Si o,, ^, y sont les cosinus directeurs d'une telle 

 droite et x.,y, z les coordonnées d'un de ses points, on devra avoir 



( /(•^, r, -, oc, .8,y;=:e,a2-f-e/^2_^f:3y^ 

 ^ ^ I + g, ^y 4- ^-oya + g., aJ?j =: o. 



La droite devra être une génératrice des cônes Tp de tous ses points. 



Si cette propriété doit appartenir à une triple infinité de droites, c'est- 

 à-dire aux droites d'un complexe, il faudra que Tp soit le cône du complexe 

 et que la relation (4) ait lieu identiquement. Les calculs donnent le résultat 

 suivant : 



Si {ii,v,w') sont les composantes du déplacement éprouvé par le 



