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à un nombre infini d'inconnues. M. Hilbert fait le lien entre ces deux pro- 

 blèmes, en se servant d'un système orthogonal de fonctions; les coefficients, 

 comme les inconnues des dernières équations, ne seront que des intégrales 

 déduites des fonctions données et des fonctions inconnues du problème, 

 d'une manière analogue aux coefficients de Fourier, à l'aide des fonctions 

 du système orthogonal. 



Pour la méthode de M. Hilbert, la question suivante est de grande 

 importance : 



Étant donné un système orthogonal de fonctions, déduites pour un 

 intervalle déterminé, attribuons à chaque fonction du système un nombre 

 réel. Sous quelles conditions existera-t-il une fonction telle que, pour 

 chaque fonction du système, l'intégrale du produit de cette fonction et de 

 la fonction en question, prise sur l'intervalle, soit égale au nombre donné 

 d'avance? 



Pour la classe des fonctions sommables, bornées ou non, mais dont le 

 carré est aussi sommable, le théorème que je vais donner résout tout à fait 

 la question. Je remarque d'abord qu'un système orthogonal de fonctions, 

 dont aucune n'est de l'intégrale o, doit être fini ou dénombrable. La dé- 

 monstration de ce théorème, que j'ai indiquée (*) en su[)posant les fonc- 

 tions bornées, peut être étendue sans difficulté à toutes les fonctions som- 

 mables, de carré sommable. 



Voici le théorème : 



Soit <p, (ce), 92(^)> • • • "'^ système norme de /onctions , définies sur un inter- 

 valle ab, orthogonales deux à deux, bornées ou non, sommables et de carré 

 sommable; c est-à-dire tel que l'on ait 



^i{x)^j{oo)dx = o (i^j); / l<^i(x)]-dx = c- 



pour toutes les fonctions du système. Attribuons à chaque fonction <s^i{x) du 

 système un nombre a,. Alors la convergence de V a] est la condition nécessaire 



i 



et suffisante pour qu il y ait une fonction f(x) telle qu'on ait 



r' 



/ f{(x^)'!(i{oc)dx~ai 

 pour chaque fonction 9/(^) et chaque nombre «,. 

 (') Comptes rendus, ^.i novembre 1906. 



