SÉANCE DU l8 MARS 1907. 617 



La nécessité de la condition donnée suit immédiatement de l'inégalité 

 bien connue de Bessel, donnée par lui pour des fonctions continues, mais 

 qui reste vraie pour des fonctions quelconques, sommables et de carré 

 sommable. Quant à la question de savoir si la condition donnée est aussi 

 suffisante, je me borne à inditjuer brièvement la marche de ma démon- 

 stration. 



1. D'abord je démontre le théorème pour le cas classique des fonctions trigonomé- 

 triques. Pour cela je montre qu'en intégrant terme à terme une série trigonométrique, 

 dont la somme des carrés des coefficients est convergente, la série des intégrales indé- 

 finies tend uniformément vers une fonction continue et à variation bornée. Cette 

 fonction a une dérivée en tous les points de l'intervalle o — 27:, excepté peut-être un 

 ensemble de mesure o. Je démonlre que la fonction f {x) égale à cette dérivée pour 

 chaque point oii celle-ci existe et prenant pour les autres points des valeurs quel- 

 conques, et la fonction [/(^)]^ sont sommables, et les coefficients de Fourier, 

 appartenant à la fonction f{x), sont ceux donnés d'avance. Dans ce but, je fais 

 usagp du lemme suivant, qui peut être intéressant en lui-même : 



Si une série de fonctions fi{x), définies sur le même ensemble mesurable z, som- 

 mables et de carré sommable^ convergent vers une fonction f{x) dans tout point 

 de l'ensemble excepté peut-être un ensemble de mesure o. et si l'on a 



J\m-^)] 



'dxiM 



pour c/iaque fonction f,(x), M étant un nombre ^xe, on a 



I f(x) dx = \im I fi{x)dx. 



2. Pour passer au cas général, je fais usage du lemme suivant : 

 Etant donné un système d'équations linéaires 



k 



à un nombre infini d' inconnues, les coefficients afk étant tels que l'on ait 



^ctihfJjk — o (f^y), ^ah—\, 



/. Â- 



pour chaque série de nombres y k tels que ^^f^ converge, le système (i) a au moins 



i 



C. R., 1907, I" Semestre. (T. CXLIV, N° 11.) 87 



