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une solution telle que X •^^' converge, cette solution étant donnée par les formules 



/. 



i 



Si le système des nombres anc est complet, c'est-à-dire s'il n'existe pas de série de 

 nombres z^ tels que 



k k 



pour chaque nombre i, les formules (î>.) fournissent la solution unique du sys- 

 tème (i). 



De plus, dans ce dernier cas, on a 



^^l=^J'f {')■ 



A l'aide de ce lemrae on passera du système spécial des fonctions trigonométriques 

 au sj'Stème général, avec la seule restriction que les fonctions du système soient défi- 

 nies dans l'intervalle o — 2it. Etant donné le système des fonctions <p,(^) et le système 

 des nombres «,, pour trouver la fonction inconnue f{x), on appliquera d'abord le 

 théorème bien connu sur l'intégration du produit de deux fonctions représentées par 

 leurs coefficients de Fourier, théorème qui, d'après les recherches de M. Fatou (^), est 

 vrai pour toutes les fonctions sommables, de carré sommable. On arrivera à un sys- 

 tème d'équations linéaires tel que (i) et chaque solution {cc/^) de ce système, pour 



laquelle ^^1 converge, fournira les coefficients de Fourier d'une fonction f{oc) telle 



k 



que l'on ait 



.27t 



f{œ)':fi{x)dx = ai 



£ 



pour chaque nombre i. 



Si le système des fonctions orthogonales (pj(x) est complet (*), le système 

 des équations n'aura qu'une seule solution; la fonction /(ic) sera donc dé- 

 terminée jusqu'à une fonction additive de l'intégrale o. 



Enfin, le théorème étant démontré pour les fonctions définies dans l'in- 



(*) Ce lemme, qui se démontre aisément, résulte aussi des belles recherches de 

 M. E. Schmidt sur les systèmes d'équations linéaires à un nombre infini d'inconnues, 

 qui paraîtront prochainement. On le déduira aussi d'un résultat de M. Hilberl {loc. 

 cit., p. 195). 



(2) Acta math., t. XXX, p. 335. 



(") Voir, sur cette notion, ma Note déjà citée. 



