SÉANCE DU l8 MARS I907. 619 



tervalle o — 27:, on passera sans difficulté au cas d'un intervalle quel- 

 conque. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les solutions périodiques des équations dij^é- 

 rentielles linéaires. Note (') de M. T. Lalesco, présentée par M. Emile 

 Picard. 



1. On sait que la recherche des intégrales périodiques d'une équation 

 différentielle du second ordre 



(i) y"+kk{x)y = o, 



où A(ic) désigne une fonction périodique positive, revient à la résolution 

 d'une équation fonctionnelle qui jouit des mêmes propriétés que l'équation 

 de Fredholm sans second membre. 



Dans la présente Note je vais indiquer une autre méthode qui rattache 

 celte question à la théorie de Fredholm, applicable au cas général d'une 

 équation différentielle linéaire d'ordre quelconque et dans des circon- 

 stances plus générales. 



Considérons l'équation fonctionnelle 



(2) y{cc) + /• f y{l) A(;)(^ - '0 = ax -h h 



équivalente à (i). Exprimant que sa solution admet la période w, on trouve 

 les conditions 



(3) \ ' 



et, réciproquement, ces conditions sont suffisantes; on peut alors écrire (2) 

 sous la forme 



7(^) + /-y G{x,l)k{l)ya)dl=b, 



•-'rt 



(') Présentée dans la séance du 1 1 mars 1907. 



