SÉANCE DU l8 MARS I907. 621 



tielles^du type hyperbolique 



(4) £^, + /r¥(.T.y)n^o, 



OÙ F désigne une fonclion périodique en x et r, de périodes to et to' respec- 

 livenient. Exprimons que la solution de l'équation fonctionnelle équiva- 

 lente 



J\cL') et J/(r) étant des fonctions arbitraii-es, admet les deux périodes w 

 et co'; nous trouvons les conditions 



/ ^w 



[ l-(;,v,)"($,-':)'/$ = o, 



(5) ■"„. 



I / ¥(i,'n)u{'i,r,)(lr, = o. 



Les fonctions /"(^r) et 9(^) doivent, en outre, admettre respectivement 

 les périodes w et w'; réciproquement ces conditions sont suffisantes. 



Les conditions (5) développées conduisent aux équations fonclionnelles 

 suivantes : 



b{x)f(oc) - f yïr, )G(.r, '/iK/r, = /-MC-x-), 

 où l'on a posé 



H^-)=/"F(-r.-i)f''^ et G,(^.j)=jr" '''^"^|'y"-''> rf-o. 



M(£»7) et N(j) désignant des fonctions périodiques en £»? et y respective- 

 ment, se présentant sous la forme d'intégrales doubles portant sur w(^, y)) 

 et que l'on calcule aisément. Les fonctions y(^) et <p(/) sont ainsi, en 

 général, uniques, périodiques, et leurs expressions remplacées en (4') 

 donnent pour u une équation de Fredholm à deux variables et sans second 

 membre. 



