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La recherche des intégrales périodiques de (4) revient donc à la résolu- 

 tion d'une équation de Fredholm à deux variables et sans second membre ; 

 la détermination de cette équation nécessite, en outre, la résolution de 

 deux équations de Fredholm à une seule variable à noyau symétrique et 

 avec second membre. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le problème de Dirichlet. 

 Note de M. H. Lebesgue, présentée par M. Appell. 



Je me suis aperçu que, sans rien perdre en généralité, on pouvait sim- 

 plifier considérablement la démonstration que j'ai donnée récemment 

 {Comptes rendus , ii février 1907) de l'existence d'une fonction v prenant 

 des valeurs continues données sur un contour G et rendant minimum l'in- 

 tégrale 



étendue au domaine D limité par G. 



Les conditions aux limites étant supposées telles que, pour les fonc- 

 tions u satisfaisant à ces conditions, la limite inférieure /de I(w) soit finie, 

 je prends des fonctions m,, u^, ... satisfaisant aux conditions aux limites 

 et telles que les intégrales I correspondantes soient finies et tendent vers /. 

 Je suppose de plus que ces fonctions n'ont ni maximum ni minimum et que 

 la suite des Ui est convergente en tous les points d'un ensemble dénom- 

 brable partout dense. Ges conditions sont, on le sait, compatibles. 



Je dis que les Ui tendent uniformément vers une fonction limite v, ou, 

 ce qui revient au même, qu'autour de chaque point A de G ou D comme 

 centre, on peut tracer ime circonférence r à l'intérieur de laquelle les 

 fonctions m, — Uj restent, si i et y surpassent une certaine limite, infé- 

 rieures au nombre fixe donné e, et cela quel que soit s ]> o. 



Les différences Ui~ Uj tendant vers zéro (quand « ety augmentent indé- 

 finiment) aux points de convergence des Ui qui sont partout denses, s'il 

 était impossible de tracer F, c'est que, r\ avant été pris tel que l'on ait 

 o <[ 27) <^ e, on pourrait faire correspondre à tout cercle y de centre A une 

 des fonctions w,, soit «(y), de manière que w(y) ait dans y une oscillation 

 supérieure à v). 



Je vais montrer que cela est impossible en supposant A intérieur à D ; il 



