SÉANCE DU l8 MARS 1907. 628 



n'y aurait d'ailleurs rien d'essfentiel à changer si A était sur C. Pour le faire 

 je remarque que l'intégrale 



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quand u prend des valeurs données en a et b, atteint son minimum quand 

 u est linéaire. Je remarque aussi que, en passant aux coordonnées po- 

 laires (p, 6), on obtient, comme limite inférieure de I(m) dans la couronne 

 circulaire limitée à p = r et p = R, l'intégrale 



X"^^^^G^)>^• 



Si donc u a une oscillation au moins égale à yi sur chaque circonfé- 

 rence p, r<p<R, l'intégrale en 9, qui est une intégrale i {u), a au moins 



pour valeur — et I (m) est au moms égale a 2 — 4^ — • 



Ceci posé, autour de A comme centre et intérieurement à D, je décris 

 des circonférences r, y,, Y2' •••' ^'^nt les rayons R, r,, To, ... vont cons- 

 tamment en décroissant et tendent vers zéro. Les Ui n'ayant ni maximum, 

 ni rSinimum, ii{yi) a une oscillation au moins égale à 71 sur chacune des 

 circonférences de centre A comprise entre y, et T; donc, dans la couronne 

 limitée par y,- et r et, par suite, a fortiori dans D, I ["(yi)] ^^^ ^" moins 



égale a 2 — 4^ -— • 



Cela est impossible puisque les nombres I (m,) sont bornés dans leur 

 ensemble; l'existence de la limite ç est démontrée. Utilisant ensuite 

 l'hypothèse que les I (m,) tendent vers /, on démontrera que ç^ satisfait à 

 l'équation de Laplace et que l(v) = l par la méthode de M. Hilbert ou 

 par celle, analogue mais plus simple, de M. Fubini, ou par celle de 

 M. B. Levi, ou encore en s'appuyant sur la solution connue du problème 

 de Dirichlet quand C est une circonférence. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une surface du sixième ordre liée aux 

 fonctions abèliennes de genre trois. Note de M. L. Remy, présentée par 

 M. G. Humbert. 



Dans une Note précédente, j'ai énoncé quelques théorèmes relatifs aux 

 surfaces algébriques S liées à une courbe plane du quatrième ordre C, de 



