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telle sorte qu'à un couple de points de G réponde un point de S et qu'à 

 un point de S répondent deux couples de points de C, situés en ligne 

 droite. 



J'ai étudié une surface S particulière définie par les équations 



dans ces équations ^(u, v, «^) désigne la fonction thêta normale, de carac- 

 téristique nulle et du premier ordre; 0,, ..., ©, sont quatre fonctions 

 thêta normales, de caractéristique nulle, du deuxième ordre, s'annulant 

 pour trois demi-périodes /),/?', />", convenablement choisies parmi les zéros 

 de ^(m, V, w). 



Pour fixer les idées, les demi-périodes /?, p' , p" peuvent être désignées 



par les symboles 



(aa'a"), (a<x'[3"), (aa'y") 



d'après une notation due à M. Humbert et la fonction ^(m, v, w) par le 

 symbole a^'fi". 



La surface S ainsi définie est du sixième ordre ; elle possède trois droites 

 doubles qui concourent en un point triple. • 



Aux trois demi-périodes p, p\ p" correspondent sur la surface des uni- 

 cursales singulières : ce sont trois coniques situées respectivement dans les 

 faces du trièdre des droites doubles. 



Aux vingt-cinq autres demi-périodes qui annulent ^(u, v, w), mais non 

 les fonctions 0/(w, v^ m^), correspondent vingt-cinq points doubles. 



D'après le choix des demi-périodes (xcc'ci.")^ (a,a,',8"), (aa'y"), il existe, 

 en dehors de '^{u, v, (^), cinq fonctions normales du premier ordre 

 ^j{u, V, w) s'annulant pour ces trois demi-périodes. Le carré de chacune 

 de ces fonctions s'exprime par une combinaison linéaire et homogène des 

 fonctions 0,, . . . , 0^ et [^(m, v, w)]' ; par suite l'équation 



[^j(u, V, cv)Y = o 



définit une section plane de la surface. Donc : 



Il existe cinq plans Pj tangents à la sur/ace le long d'une cubique. 



Les dix sommets du pentaèdre des plans Py sont des points doubles de 

 la surface; les quinze autres points doubles sont situés trois par trois dans 

 les cinq plans tangents singuliers. 



L'étude des courbes définies par les fonctions thêta du premier ordre 



