SÉANCE DU l8 MARS 1907. 625 



conduit à des propriétés géométriques : en particulier, il existe trois qua- 

 driques contenant respectivement deux des droites doubles et circonscrites 

 à la surface le long d'une biquadratique. De là cette conclusion : Les cinq 

 plans tangents singuliers forment avec les faces du trièdre des droites doubles 

 un groupe de huit plans de Lamé. 



Ces propriétés sont caractéristiques : 



Toute surf ace du sixième ordre 2, qui possède trois droites doubles concou- 

 rantes et cinq plans tangents singuliers, est une surface S(w, v, w), c est-à- 

 dire quelle peut être représentée paramétriquement par les équations ( i ) ; /e 

 pentaédre des plans tangents singuliers et le trièdre des droites doubles forment 

 nécessairement un groupe de huit plans de Lamé. 



La surface 2 admet la génération géométrique suivante : étant donnés un 

 jientaèdre et un trièdre dont les huit plans forment un groupe de Lamé, 

 il existe une famille simplement infmiede surfaces cubiques passant parles 

 dix sommets du pentaédre, par deux quelconques des arêtes du trièdre 

 et admettant pour point double un point quelconque de la troisième arête ; 

 les trois familles analogues enveloppent une même surface i du sixième 

 ordre qui admet les faces du pentaédre pour plans tangents singuliers et 

 les arêtes du trièdre pour droites doubles. 



Les surfaces du second degré adjointes à 1 sont les cônes du second 

 ordre circonscrits au trièdre des droites doubles : parmi ces cônes adjoints, 

 il en existe une infinité qui sont tangents à la surface, et, d'après une pro- 

 priété générale des surfaces S(/^, v, w), ils découpent une famille de courbes 

 du sixième ordre, de genre trois et de mêmes modules. 



J'ai étudié les sections de la surface par ses adjointes d'ordre quelconque; 

 par exemple : les courbes r„, découpées par les surfaces d'ordre 2/i, sur 

 lesquelles les trois droites doubles sont multiples d'ordre n, ont pour équa- 

 tion générale ^«(a, (^, Mf) = o, ç„ désignant unefonction normale quelconque 

 d'ordre riy de caractéristique nulle, de même parité que le nombre /^; et 



-. T II 1 ' ' 1 T^ 3/i(« -H l) 



réciproquement. Le genre de la courbe générale 1 J^ est \- i . 



GÉOMÉTRIE* — tiur leè hélices côrisulérées cûnirrie génératrices d'une surfaces. 



Note de M. G. Barré. 



Dans cette étude je me place k deux points de vue distincts : j'étudie 

 d'abord les hélices placées sur une surface donnée, puis ensuite la surface 



C. R., 1907, I" Semestre. (T. CXLIV, N' 11.) '^^ 



