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engendrée par une hélice mobile définie par rapport à un trièdre de réfé- 

 rence mobile. 



Les formules obtenues conduisent à la solution de divers problèmes sur 

 la détermination des surfaces dont une famille d'hélices jouisse de pro- 

 priétés données. 



I. Des hélices tracées sur une surface donnée. — Dans tout ce qui 

 suit, i' appelle pas angulaire d'une hélice (et je désigne par la lettre R) la 

 tangente trigonométrique de l'angle de la tangente à la courbe avec le 

 plan directeur de ses normales principales. La direction de ce plan sera 

 dite la direction du plan de base de l'hélice; celle de sa perpendiculaire en 

 sera la direction d'axe. 



On obtient sans difficulté les équations différentielles, du premier ordre, 

 des hélices de pas K ayant un plan de base donné et situées sur une surface 

 donnée par son équation z ^= f(x , y) en coordonnées cartésiennes rectangu- 

 laires. L'élimination de R par une différentiation donne l'équation diffé- 

 rentielle générale (du deuxième ordre) de toutes les hélices ayant la direc- 

 tion d'axe donnée et tracées sur la surface. En désignant par/?, r/, r, s, /, 

 conformément à l'usage, les dérivées partielles des deux premiers ordres 

 àef(^x,y^, on obtient l'équation aux dérivées partielles 



p' r -h ipqs -\- q^t = o 



déterminant les surfaces dont une famille d'asymptotiques est formée par 

 des hélices de même direction d'axe, choisie pour direction de l'axe Oz. 



Des calculs analogues en coordonnées semi-polaires interviennent avan- 

 tageusement dans certains cas, notamment dans les études suivantes sur 

 les hélicoïdes ou les surfaces de révolution. 



Des équations précédentes je tire le théorème suivant : 

 Théorème. — La seule surface minima dont une famille d'asymptotiques 

 soit composée d hélices de même direction d'axe est l/iélicoide gauche à plan 

 directeur. 



Cette surface est aussi la seule surface réglée à plan directeur dont la 

 deuxième famille d'asymptotiques soit constituée par une série d'hélices 

 admettant la direction du plan directeur de la surface comme direction 

 de plan de base. 



Hélices sphériques. — J'en signalerai seulement la propriété suivante : 

 Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une hélice sphé- 



K- 

 rique soit algébrique est que la fraction p; soit un carré numérique parfait . 



