SÉANCE DU l8 MARS I907. 627 



Hélices tracées sur le paraholoïde de révolution et dont la direction d'axe est 

 celle de l'axe de la surface. — Ces courbes jouissent d'une propriété inté- 

 ressante : elles sontrectifiables. Si y?: est leur pas, l'expression de Tare com- 



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/ /,2 _. _\ 2 «2 n- 



pris entre deux points est : a = \ i- — ' formule dans laquelle pet p^ 



représentent les distances à l'axe de la surface des deux extrémités de l'arc 

 considéré et /?„ le paramètre de la surface (dont l'équation canonique 



est ^ = - "^ 



Hélices tracées sur Vhélicoïde général et dont la direction d'axe est celle de 

 l'axe de la surface. — Soient : x = pcos(p, y = psin<p, s =fÇo) +/'Po9 les 

 équations de la surface dans lesquelles se trouvent mis en évidence le pas 

 angulaire/? et le rayon de base po de l'hélice directrice. Je me bornerai à 

 énoncer les deux propriétés suivantes : 



Théorème. — L' hélicoide général admet, comme seules lignes asymptotiques 

 qui soient aussi des hélices de direction d' axe parallèle à l'axe de la surface, les 

 hélices circulaires coaxiales de la directrice' et dont le pas est donné par la re- 

 lation : f (± ^"^ = o. 



Corollaire. — L'hélicoïde gauche à plan directeur est le seul hélicoide 

 dont une famille d'asymptotiques coïncide avec une famille d'hélices de la 

 surface dont la direction d'axe soit celle de l'axe de la surface. 



Théorème. — Les seules hélices tracées sur V hélicoide gauche à plan di- 

 recteur et dont ce dernier définit la direction de plan de base sont des hélices 

 circulaires {constituant les deux familles connues d'hélices circulaires de cette 

 surface). 



II. Surface engendrée par une hélice morile donnée. — Les formules 

 définissant le déplacement de la courbe conduisent par une méthode 

 connue (voir Darroux, Théorie des surfaces, t. I) à l'expression des élé- 

 ments géométriques de la surface en fonction des deux variables définis- 

 sant à chaque instant la courbe et sop mouvement. 



C'est à ce procédé notamment que je m'adresse à peu près exclusivement 

 . dans l'étude spéciale des surfaces engendrées par une hélice circulaire. Je 

 signalerai ici les résultats les plus intéressants de l'étude générale objet 

 de cette Note. 



Théorème. — L' hélicoide gauche à plan directeur est la seule surface en- 

 gendrée par une hélice dont l'expression de la courbure en fonction de l'arc 



