ylO ACADEMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sûr une extension de la méthodes de sommation 

 de M. Borel. Note de M. A-. Buhl, présentée par M. P. Appell. 



Soient F(r) une fonction uniforme et C un cercle ayant l'origine pour 

 centré. Le cercle pourra contenir certaines singularités polaires ou essen- 

 tielles de F(r). 



Considérons l'égalité, qui suj)pose | ^ | <^ | j? |, 



et posons 



'"=^.1 ^(^^H^ +•••+ 1^0'^' = ^i, ^^^> .-^ ^^' 



Soient maintenant fÇÇ, 'iyO.-) une fonction de trois variables complexes et 

 r un cercle ayant pour centre l'origine du plan des "(,. Pour |E| <^ j'C], on 

 aura 



et nous désignerons par c„, c,, c^, ... les termes de la série ainsi obtenue. 

 Considérons d'abord le produit 



-"+!_. ^"+1 \'^dzdt 



c.,s..=.{^yffY(.)/(:c,i..) 



et proposons-nous de faire la somme de toutes ces expressions pour 



72 =r o, I, 2, . . ., co. 



En s'appuyant sur l'identité 





sTX' 



(^..)"+i (r_?)(u-U-) 



vraie si |E|<::^|'Cj et si | Ea? | <^ l 'C- j? conditions précisément réalisées, il 

 vient 



.^^ V^^^^^ _/ 1 \'- r CV{-z)J\l,l,œ)dzdt^ 



n = 



'"""— \ 2t- /.,./,, ... ., / 'CT 



'^•^■'(?-0(.-f) 



