SÉANCE DU 2 AVRIL 1907. -^11 



Telle est la formule fondamentale qui contient des résultats remar- 

 quables comme cas particuliers. 



Supposons d'abord que 1 (-) n'ait j)as de singularités dans C. Alors (i) 

 sera le développement taylorieii de F(j:*) et \x \ C sera toujours dans C. 

 Donc (2) donne 



n = 00 



En dehors de C, il faut supposer à F des points singuliers a^, ce qui 



donne pour Fi — j des points singuliers ^Qk^=- "^' O''» oïi peut imaginer que 



l'on choisisse /, de telle sorte que F(^^:*C)/(C \-, ^) soit holomorphe 

 dans r. Et alors 



n ^ 00 

 n — O 



On peut concevoir que le premier membre de cette égalité soit conver- 

 gent. dans des cas où s„ ne l'est pas. Nous avons alors un mode de repré- 

 sentation de F(x) dans un domaine autre que C, sur la détermination 

 duquel je n'insiste pas ici. 



Toute la ditficullé est de former les r„, termes du second membre de (2), 



car les points singuliers 'Ck ^^^ f(^) auront, en général, au moins un 



point limite qui sera essentiel et il faudra introduire une singularité de 

 même nature dans y. On retrouve la méthode de sommation de M. Borel 

 en faisant tendre ^ vers l'infini dans une direction quelconque. En général, 

 cela rejette les singularités Ca également à l'infini et, en intégrant alors le 



long de r dont le rayon devient aussi infini, on peut considérer F(— - j 



comme une fonction entière de '(. Si /est dans le même cas et si l'on 

 observe que celle fonction ne contient plus alors nécessairement d'autre 

 variable que 'C, on trouve 



F(,:r).= lim-^2^"^'" 



/(O 



n=0 



ce qui est bien la formule fondamentale que M. Borel place à la base de 

 sa théorie des séries divergentes sommables. 



Pour revenir à la question générale, remarquons que le second membre 



