SÉANCE DU 8 AVRIL 1907. 729 



plus simple que celle résultant de l'emploi de ^, on, DX, et qui nous sera 

 souvent utile. 



2. Normale et plan tangent. —Les coefficients directeurs de la normale 

 à la surface sont : 



/ A = p^cosçp — K31L =— RMsincp —(KL — pN)cos(p, 

 (7) < B = pxsincp + R^= RMcos© — (RL — pN)sin(p, 



( C = — p(^cos(p -1- oiLcos(p) =— pM. 



L'angle cj de la normale à la surface avec la normale principale à la 

 courbe est donné par la formule 



/Q\ KL — pN 



(O) COSC7 = ^ 



[(KL-pN)2+M'-(p2+K2)]'^ 



En exprimant que le carré de ce cosinus est constamment égal à l'unité, 

 on obtient le théorème suivant, déjà signalé comme conséquence de résul- 

 tats plus généraux : 



Théorème L — Le cylindre circulaire droit es l la seule surface dont une 

 série de géodésiques soit formée par une famille d'hélices circulaires. 



Ce théorème est un cas particulier du suivant : 



Théorème IL — Si, dans le mouvement d'une hélice circulaire, pour une 

 position de celle-ci correspondant à une variation nulle du rayon du cercle 

 principal, le mouvement élémentaire du triédre lié à la courbe se réduit à une 

 translation suivant l'axe de l'hélice correspondante, celle-ci est une géodésique 

 de la surface. 



' Ces conditions suffisantes sont aussi nécessaires : Si une génératrice est une 

 géodésique, il existe un triédre de référence, tel que celui défini ci-dessus dont 

 le mouvement à V instant considéré se réduise à une translation suivant l'axe 

 de l'hélice. 



Remarque générale. — On pourrait associer à toute une série de théo- 

 rèmes que nous trouverons ci-après des théorèmes qui jouent vis-à-vis 

 d'eux le rôle du théorème II par rapport au théorème I. Je me dispenserai 

 de les énoncer, me bornant à cette remarque sur la possibilité d'une telle 

 généralisation. 



En exprimant que cos cr est identiquement nul, on obtient le résultat 

 suivant : 



Théorème III. — L'hëlicoïde gauche à plan directeur est la seule surface à 

 génératrices hélices circulaires dont celles-ci soient une famille d' asymptotiques . 



