SÉANCE DU 8 AVRIL I907. 73l 



réelle ac, vérifiant l'équation 



(i) \'Xx) + \k,p(œ) — q(a.^)\y,= o, pour a < ^< Z>(^/> > rt > o), 



jointe aux conditions 



j Y'Xa) - hY/a) = o, V;(^^) + HV,(^) = o, 

 \ / p(cv)Y';(x)djc = i, 



p{x) eL q(o^) étant des fonctions positives dans l'intervalle (a, b), h et H 

 deux constantes données positives. 



)) Toute fonction ./(^), continue dans (or, b), admettant les dérivées de 

 deux premiers ordres dont la première reste continue, la seconde inté- 

 grable dans l'intervalle (<2, è), se développe en série uniformément con- 

 vergente de la forme suivante 



(3) f(œ)=^AsY,(x), A,= f p(x)f{x)\,{x)dx. 



s = l 



si f{x^ satisfait encore aux conditions 



(4) f'{a)-hf{a) = o. /'(/>) +H/(/>) = o. >, 



Il pourrait sembler que l'existence de dérivées des deux premiers ordres 

 et les conditions (4) soient indispensables pour la rigueur de la démon- 

 stration. 



Or, je vais montrer maintenant qu'on peut s'affranchir de ces restrictions 

 et établir ce théorème général : 



A. Toute fonction f{x), continue et admettant la dérivée du premier ordre, 

 intégrable dans V intervalle (a, b), se développe dans cet intervalle en série uni- 

 formément convergente de la forme (3). 



Si f(x) admet la dérivée du premier ordre, on a (Mémoire cité, p. 3o3), 

 quel que soit le nombre tî, 



f B:,f{x)dx-i-}\Rl(b)-i-/iR;xa) + f g(x)K;Xcc)dx 



I b " 



= f f'\x)dx-^l\f\b)-^hfXct)-h f q{x)f\x)dx-y^k,Yi. 



