SÉANCE DU 8 AVRIL 1907. 733 



Or, chacune des séries 



^k,\l y^k.B;, 2^^C; 



s=l s=l s=l 



converge, car /(^), ^,(^) et t^oC^) admettent les dérivées du premier 

 ordre dans l'intervalle (a, b). 

 Donc, la série 



(6) >;a.v,(«) 



.1=1 



converge absolument . Posons maintenant 



n 



Il est évident que 



d'oi!i 



J Cl 



En tenant compte de (5) et du ihéorème général du 11° 7 de mon Mé- 

 moii'e : Sur certaines égalités générales, etc. {Mémoires de l'Académie des 

 Sciences de Saint-Pétersbourg, S*' série, Vol. XV, n" 7, 1904, p. i4)» o>^ 

 trouve 



(7) R;,(^)<R;X«) + ^.M 



où tn<^^ pour n'y'), £ étant un nombre positif donné à l'avance ne dépen- 

 dant pas de X, v étant un entier assez grand. 



La convergence de la série (6) et celle de l'inégalité (7) suffisent pour 

 s'assurer que la série 



00 



S—l 



converge uniformément dans l'intervalle (a, ^). 



Il suffit enfin de se rappeler le théorème du n° II de mon Mémoire, 

 tout à l'heure mentionné, pour en déduire immédiatement le théorème A, 

 énoncé plus haut. 



C. R., 1907, I" Semestre. (T. CXLIV, N" 14.) 9^ 



