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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les systèmes orthogonaux de fonctions 

 et Véquation de Fredholm. Note ( ' ) de M. Frédéric Riesz, présentée 

 par M. Emile Picard. 



Dans une Note présentée récemment à l'Académie (^), j'ai indiqué un 

 théorème relatif aux systèmes orthogonaux de fonctions; je me suis borné 

 à regarder des fonctions d'une variable, définies dans un intervalle. Dans 

 la présente Note j'indiquerai la marche à suivre pour étendre le théorème 

 au cas de fonctions d'une ou de plusieurs variables, définies dans un en- 

 semble mesurable quelconque. A cette occasion, je donne aussi la généra- 

 lisation d'un théorème bien connu, relatif à l'intégration du produit de 

 deux fonctions représentées par leurs coefficients de Fourier. Enfin, j'ap- 

 pliquerai mon théorème à résoudre l'équation de M. Fredholm. 



1. D'abord, on a le théorème : Soit <p,(a?), ÇoC^)» •••»«« système ortho- 

 gonal norme de fonctions définies sur un intervalle ab, sommahles et de carré 

 sommable; c est-à-dire un système tel que l'on ait 



f (^i(œ)(^j(x)dx = o({ ^j); J o^Çxy dœ = c^ 



pour toutes les fonctions du système. De plus, on supposera que le système soit 

 complet, c'est-à-dire qu'il n existe pas de fonction sommable et de carré som- 

 mable, autre que les fonctions de l'intégrale o, orthogonale à chaque fonction 

 du système. 



Alors, pour deux fonctions f{x) et g{x) quelconques, définies sur l'inter- 

 valle ab, sommables et de carré sommable, on a 



rb nh r,.h 



f{x)g(x)dx=^ / f(x)(ûi{x)dx g(x)cî>i(x)dx. 



Le théorème étant vrai au cas classique- des coefficients de Fourier, on 

 le démontrera aisément pour le cas général en faisant usage du lemme 

 donné dans ma dernière Note, relatif à la résolution d'un système d'équa- 

 tions linéaires à une infinité d'inconnues. 



(•) Présentée dans la séance du 2 avril 1907, 

 (•-) Le iS^mars 1907. 



