SÉANCE DU 8 AVRIL I907. ySS 



2. Le théorème donné dans ma dernière Note s'étend sans difficulté aux 

 systèmes orthogonaux de foîictions d'une ou de plusieurs variables, définies 

 dans un ensemble mesurable quelconque, sommables et de carré sommable. 

 En se servant du lemme déjà cité, relatif à la résolution d'un système 

 d'équations linéaires, on ramènera la question relative à tous les systèmes 

 orthogonaux définis dans un ensemble mesurable à construire un svstème 

 orthogonal spécial de fonctions définies dans l'ensemble, norme et complet, 

 et à étendre à ce système notre théorème et le théorème que je viens de 

 donner, relatif à l'intégration du produit de deux fonctions. On construira 

 un tel système à l'aide d'un système norme et complet de fonctions défi- 

 nies dans un intervalle. Par exemple, pour un ensemble plan E, on déter- 

 minera d'abord des nombres a el b tels que l'ensemble soit situé à l'inté- 

 rieur du carré dont les sommets aient les coordonnées : «,«,, «i^,, ^i^t, 

 bftt. Soit cp, (a?), (p2(a?), . . . un système orthogonal, norme et complet, de 

 fonctions définies dans l'intervalle ab. Alors le système des fonctions 

 ^i(^) <^j{y) sera un système orthogonal, norme et complet de fonctions 

 définies dans le carré. On en déduira un système de fonctions représentées 

 par des sommes finies de la forme 



ce système étant orthogonal, norme et complet dans l'ensemble E. Or, 

 pour ce système, nos théorèmes restent vrais; donc le théorème relatif à 

 l'existence d'une fonction ayant pour coefficients de Fourier des nombres 

 donnés d'avance dont la somme des carrés converge, peut être étendu à 

 tout système orthogonal norme de fonctions, définies dans l'ensemble E. 

 Le théorème relatif à l'intégration du produit de deux fonctions vaudra 

 pour tout système, norme et complet. 



3. Notre théorème principal nous servira à résoudre l'équation de 

 Fredholm 



' H^yy)^iy)dyr 



a 



SOUS la seule condition que les fonctions données f\x) et KÇx, y) soient des 

 fonctions sommables, de carré sommable. Quant à ce sujet, je me borne aux 

 indications suivantes : 



On se servira d'un système orthogonal quelconque, norme et complet de 

 fonctions définies dans l'intervalle ab. En multipliant l'équation (2) avec 



