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briques; il n'était nullement évident qu'on pût les intégrer explicitement. 

 Je l'ai fait pour toutes. 



2° Ces conditions sont suffisantes, ainsi qu'il résulte de la méthode gé- 

 nérale de M. Painlevé. Mais quelle est alors la nature de l'intégrale? 

 L'équation est-elle intégrable ou définit-elle une transcendante irréduc- 

 tible? Dans ce dernier cas, à combien de types réellement distincts se 

 réduisent ces transcendantes? 



C'étaient là des questions qui n'étaient pas sans difficulté et que j'ai com- 

 plètement élucidées. La réponse est conforme aux prévisions de M. Pain- 

 levé : toutes les équations (i) se ramènent soit à des équations linéaires 

 (d'ordre 2, 3 ou 4), soit à des équations intégrables (par quadratures, oti 

 par les fonctions elliptiques et leurs (iégénérescences), soit à l'un des six 

 types irréductibles qu'a étudiés M. Painlevé {Comptes rendus, décembre 

 1906). Précisons : 



D'une part, y '«2? formé un nombre fini de types canoniques, tels que toute 

 équation {i) à points critiques fixes soit réductible à un de ces types algébri- 

 quement; j'entends par un changement de variables où la nouvelle fonction 

 et la nouvelle variable s'expriment algébriquement à l'aide de Y, Y^ et des 

 coefficients de (i) et de leurs dérivées, jusqu'à un ordre fini. Les coeffi- 

 cients de ces types canoniques (tel y"= 6r- H- .r) sont ex[)licitement 

 connus. 



D'autre part, je forme explicitement toutes les équations (i) à points 

 critiques fixes de la façon suivante : toutes ces équations s obtiennent en effec- 

 tuant la transformation (2) la plus générale (où /, m, p, q, o sont, par consé- 

 quent, des fonctions arbitraires de X) sur les diverses équations 



(3) r"= A. (^, j) y- H- B, (x,y)y' + C, (^, y) 



d'un Tableau T dressé explicitement. 



Les coefficients de chaque équation (3) sont exprimés à l'aide d'un cer- 

 tain nomb)ede fonctions et de constantes. Mais ici une circonstance remar- 

 quable se produit : certaines de ces équations (3) ont leurs coefficients 

 nécessairement transcendants, et elles se ramènent au type canonique cor- 

 respondant (par exemple au type 'i{L= 6-/^- -h H) par une transformation 



r = (p('o,r;,ç), x — l, 



où r^ est algébrique en •/), vj', mais renferme ^ sous forme transcendante 

 d'une façon remarquable : Soient 7i(^, a, (3) l'intégrale générale de ce type 

 canonique et 7;^ l'intégrale particulière r\ correspondant aux valeurs numé- 



