SÉANCE DU 22 AVRIL 1907. 8jl 



M, Wrt_i ; <'m ••••' ^'n-t étant, de.s solutions supposées connues du pro- 

 blème, alors ces équations sont en involution; elles admettent, d'après la 

 théorie de Jacobi et Maver, n — 2 intégrales communes. 

 2. Les deux congruences de caractéristiques : 



u^=a,, ..., u„_^=a,^_^•, «', = />,, •.., ç,,^, = b„_^ 



admettent une famille de surfaces à deux dimensions communes dépen- 

 dant de ^ — 2 paramètres k^, . . ., ^'„_,. 



Nous appellerons ces surfaces, surfaces intégrales communes. 



Sut chacune de ces surfaces les deux faisceaux de courbes m et (^ sont 

 des courbes de translation; de plus, les cosinus directeurs des tangentes 

 à toutes les courbes (^^=5, qui rencontrent une même courbe Ui = ai, 

 sont en leurs points d'intersection exprimés précisément par les nombres 



a^ (Z„_, I 



— :? •••> — :> — ' 



V'«I + . ..^r/-_, + i \r(i-+-.. .-^- a;,_^-^ i ^y/j + ...+ « 



«-1 



3. L'intégrale générale dii système d'équations (3) dépend de in fonc- 

 tions arbitraires an — i variables chacune et, quel que soit le procédé par 

 lequel on ait obtenu un système de solutions, les 2.(n — i) relations finies 

 qui les définissent sont toujours réductibles à la forme 



(4) ^k= Fa>^.^ ••- "n-i) + '^k{^i^ '-, <'«-,) (^• = 1, ..., n - i), 



(5) '^\/{ii "«--1 ) = y-,/( *'i » • • -1 <';,-! ) {}' = 1, ..., n — I ). 



Ces équations expriment que les caractéristiques intégrales de l'une des 

 équations U(::) = o par exemple, sont engendrées par le mouvement de 

 translation d'une surface 



(F) ^; = F,(m,, ..., «„_,), ..., x\~Y^Xv, ç^„_,) 



sur une surface fixe 



ce mouvement n'étant pas arbitraire, mais réglé par les équations (5) qui 

 expriment une correspondance entre les courbes de la surface F et celles 

 de la surface <î>, de telle façoii que, lorsque la surface F glisse sur une 

 courbe 



k., = [U (>', , . . . , ^„-i )' • • • ' ^'n~\ = [J'n-^ (^n • • • » ^«-i ) 



