SÉANCE DU 29 AVRIL 1907. 87.5 



Égalons dans les deux membres de (2) les coefficients des termes en z- ; 

 nous trouvons, en utilisant (1) et la relation 0| = yi] -+- 0,, 



2/«-l-l 



(3) 4^«e; + ^;9;=',2^^~^(2m + .)'. 



Changeons dans cette équation ^ en — ^ ; en vertu de 



■Ki 



nous obtenons 



■2;/( H- 1 



Cela posé, désignons par 0,^ ,,(«) le nombre des décompositions de a 

 en p carrés impairs, écrits d'abord, suivis de q carrés pairs; il vient, en 

 égalant dans les deux membres de (3) et (4), les coefficients des termes 



N+i 



en y - : 



(5) 4Gc,...('^|N + 2) + G,.3(4N -h 2) =. 4(- if^{- ^T'i^m + i)''„ 



(6) 5G,o,o(4N + 2)-6G,,,(4N + 2) + G,,,(4N + 2) = 4i(-ir(2m-M)''; 



les sommes qui figurent aux deux derniers membres sont étendues aux 

 diviseurs impairs, 2/;? -h i, de 4N -f- 2. 



Si JS est impair, N == 2iVI + i, le nombre G,o_y(4N H- 2) est évidemment 

 nul; les équations (5) et (G) donnent 



Go,,(8M + 6:) = G,,,(8M a~6)=I-^(- i)"'-*-'(2m + i)'';. 



et, le nombre total des décompositions de 8M + G en dix carrés étant évi- 

 demment 



10.9.8.7 io-9 r- 



1.2.3.4 "''■ 1.2 -''' 



on a ce théorème : 



Le nombre total des représentations de 8 M H- G par une somme de dix carrés 

 est égal à 204 fois la différence entre la somme des quatrièmes puissances des 

 diviseurs impairs de 8 M -h 6 qui sont du type \h -+- 3, et ia somme analogue 

 pour les diçiseurs du type [\h -\- \. 



Les nombres de représentations de 8 M 4- G par une somme de six carres 



