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impairs suivis de quatre carrés pairs ou par une somme de deux carrés impairs 

 suivis de huit carrés pairs sont égaux entre eux. 



2° Remplaçons maintenant, dans (3), r'-Jq) et ^'^(q) par leurs valeurs 

 connues, 2yi,(^-)0, (^'^) et 9^(^^) -i- 'r^'^{q-), puis changeons q^ en q; nous 

 obtenons la relation (qu'il serait aisé de décomposer en deux autres) 



2 7/; + 1 



(7) r;;o, + 38r/;o: + -.,e:+2or,;o; + 2or,;oi = 22^^17^(2^^^ -H iV 



1 + ^ -^ 



N-.? 



En égalant dans les deux membres les coefficients des termes en q *, 



on a 



ioG,,,(4N + 3) -f ioG,,,(4N -4- 3) = i(- i)'"+'(2w + i)\ 



la dernière somme s'étendant aux diviseurs impairs, 2m H- i, de 4N + 3; 

 et, comme le nombre total des décompositions de 4N -h 3 en dix carrés 

 est T2o(G7 3 H- Gg 7), on obtient le théorème énoncé par Eisenstein : 



Le nombre des représentations Je 4 N -1- 3 par une somme de dix carrés est 

 douze fois l'excès de la somme des puissances quatrièmes des diviseurs de 

 4N H- 3 qui sont du type [\li -\- S sur la somme analogue pour les diviseurs du 

 type 4 A H- I . 



N+^ 



En égalant, dans les deux membres de (7), les coefficients de q \ on 

 trouverait 



G,,o(/|N 4- i) -+- Go,,(4N 4- i) + 38G,,s(4N 4- i) - 22(- i)'"(2m -t- i)% 



la somme s'étendant aux diviseurs, 2.m h- i, de 4N -h i ; mais cette formule 

 ne donne pas le nombre total des décompositions de 4N + i en dix carrés. 

 IL Cas de douze carrés. — Partons des formules 



•2/n + I 



771—0 



îiAjAQ HHiH) Q x^ ni-t/ 



III 





 ,„ H,e, c(>s.^■ , x-^ ^^2,77+1 



^^^ -ÏTF^ = ^ 4 y ' „„^i (2m 4- l)C0s(2/?2-f- l)x', 







égalons respectivement les coefficients des termes en z-, z^ , z'' dans les 



