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m étant un diviseur de 2 M à conjugué impair | c'est-à-dire tel que 

 2M = //z(2p H- i)J. 



Enfin on déduit de (10) 



^,.x i 3i[G,,.„(4N) + Go,..(4N)l 



-^ / -i5[G,,,(/fN) +G,,3(4N)] -5o42(2.72 + i)% 



2 s'étendant aux diviseurs impairs de 4N. 



Les formules (i3), (i4)> (i5) permettent de calculer les deux quantités 

 G)2,o + Go,,2» Gg ,, -f- G4 8 relatives à 4N ; et, par suite, le nombre total des 

 décompositions de 4 N en douze carrés, à savoir 



I 2,U 



Go,,o-+-495(G8,,-hG,,s). 



On arrive ainsi au théorème énoncé par Liouville : 



Soit N = 2*772, m impair, et cl^i. Le nombre total des représentations de N 

 par une somme de douze carrés est la somme des cinquièmes puissances des 

 diviseurs impairs de N, multipliée par l'entier 



24 I + 10 



?.« 



La formule reste vraie pour y. :=i, l'entier ci-dessus étant alors égal 

 à 264. 



Des formules (i3) et (i4) on déduit que : 



Le nombre des représentations de "i^m (= N) par une somme de douze 

 carrés, non tous de même parité, est la somme des cinquièmes puissances 

 des diviseurs impairs de N, multipliée par l'entier 49^ X a'^* ".. 



Mais là a est supposé ^2. 



Enfin la formule (12) donne une proposition qui s'énonce immédia- 

 tement. 



En opérant sur (8), ou sur les relations analogues, comme on a opéré 

 sur (3), on introduit les fonctions G relatives à un nombre impair; on 

 n'obtient ainsi que les deux formules 



Gn.i-(4N + 3) + i94G,.,(4N + 3) + 61 G3.,(4N +■ 3) = ■>.ld\ 

 G,,n(4N+ i)-hi94G,,,(4N+ i)4-6iG„(4N+ i) = 2ir/% 



léd^ désignant respectivement les sommes des puissances cinquièmes des 

 diviseurs de 4N 4- 3 et de 4N H- i . Mais on ne peut en déduire le nombre 

 des décompositions d'un entier impair en une somme de douze carrés. 



