SÉANCE DU 29 AVBIL 1907. 887 



à l'inexactitude de la loi de distribution, est au contraire en parfaite concor- 

 dance avec les variations de distance nécessitées par la relation (i). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la nature analytique des solutions de cer- 

 taines équations aux dérivées partielles du second ordre. Note de M. Charles 



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GoLDziHER, présentée par M. Emile Picard. 



1 . En suivant la méthode de M. Hilbert pour les intégrales simples, géné- 

 ralisée par M"® Gernet {Thèse de Gôttingen, 1902, p. 15-19) pour le cas de 

 deux fonctions d'une variable x^ on arrive à une importante proposition 

 qui joue un rôle intéressant dans la théorie des problèmes de variations 

 à deux dimensions. En transformant la première variation de l'intégrale 

 double (011 u^ et Uy désignent les dérivées partielles de «), 



( I ) 1 = I I F{u^, //,., u ; j?, y) dx dy . . . 



à la manière de P. duBois-Reymond,on déduit de l'annulation de cette varia- 

 tion des équations qui mènent à une conclusion directe au point de vue de 

 la nature analytique de u^ et u^. On suppose seulement que F soit une fonc- 

 tion analytique de ses arguments, que les dérivées partielles du premier 

 ordre de u soient continues et que u, comme solution d'un problème de 

 limite, s'annule sur le bord du domaine envisagé. Nous démontrons que, 

 si le problème de variation adjoint à (i) est régulier dans le sens de M. Hil- 

 bert {Mathematische Problème^ 19* problème), u est toujours analytique, 

 c'est-à-dire que la régularité du problème de variation est une restriction plus 

 profonde que la nature analytique de sa solution. On jjeut donner ainsi une 

 démonstration fondée directement sur le calcul des variations pour le 

 dix-neuvième problème de M. Hilbert. 



Ce résultat, qui est intimement lié aux théorèmes connus de M. Picard, 

 de MM. Holmgren et Bernstein sur la nature analytique des solutions de 

 certaines équations aux dérivées partielles du second ordre, est donc une 

 perspective pour toutes les équations de ce genre, qui résultent comme 

 équations de Lagrange du premier problème. Nous donnons de plus la 

 réponse à la question importante : pourquoi rencontre-t-on dans les 

 recherches générales une si grande différence méthodique entre les restric- 

 tions nécessaires pour l'existence unique de la solution d'une part et pour 



