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la démonstration de sa nature analytique d'autre pari? On verra que le 

 dernier problème niène à une condition plus large que les recherches d'exis- 

 tence, qui dépendent de la régularité du problème de variation adjoint. 



Le point essentiel de notre Note est de montrer que, pour la démonstra- 

 tion de la nature analytique, il suffit que le problème de variations soit 

 résoluble dans le sens de Legendre. Plus précisément, le problème de 

 variations est dit régulier si 



{a) "Ppp ^\q - Fj,y > o {P = ".r' q = "y)--> 



le problème est dit résoluble dans le sens de Legendre si 



2. La première variation de (i) 



%\{u,v)= ffi^x "Fp-^^y^q^^ F„) (Ix r/y, 



dans laquelle (^, comme fonction de variation, possède la même nature 

 fonctionnelle que m (transformée d'après la manière de du Bois-Reynaond), 

 mène à la forme suivante : 



(2) 



En postulant que 



un lemme de M. Mason (Math, Annalen, t. LXI, p. 45o-452) et l'applica- 

 tion du procédé de M"* Gernet (loc. cit.) conduisent, dans notre cas, au 

 résultat suivant : 



(3) 



OÙ 



?(^)=J/ Fuàoo, ^(y) = ij^ F,dy 



sont des fonctions dérivables de leurs arguments et où les fonctions / sont 

 des fonctions continues. 



