SÉANCE DU 29 AVRIL I907. 889 



En construisant l'inversion de Cauchy de (3) : 



\ P = ".r= ^i\ [^. y, "; ?(^)» ■/j(r)]' 



on trouve, avec la condition que F est une fonction analytique, que, si 



(*) 



F F 



PP M 



F F 



^ qp ^ 1(1 



FF - F- =?^ o 



M^ et w^. sont des fonctions analytiques respectivement par rapport à a; et 

 par rapport à y. 



De plus, on démontre d'une manière analogue l'existence des dérivées 

 supérieures comme fonctions analytiques, c'est-à-dire si (è) est vérifié, 

 u est une fonction analytique de x, y. 



3. Cette méthode est applicable à toutes les équations qui résultent 

 comme équations de Lagrange des problèmes de variation. Si le problème 

 est régulier (un point qu'on peut étudier avec la méthode d'indépendance 

 de M. Hilbert), la nature analytique de la solution en résulte sans d'autres 

 recherches, quelquefois assez pénibles. Nous croyons qu'il n'est pas néces- 

 saire d'en citer des exemples bien connus dans la théorie des équations 

 aux dérivées partielles du second ordre, jouant un rôle important dans les 

 applications. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le développement des fonctions hyperellip- 

 tiques en séries trigonométriques . Note de M. Z. Krygowski, présentée 

 par M. Emile Picard. 



La méthode de M. Appell (voir Acta mathematica^ t. XITI) permet d'ob- 

 tenir les développements des cinq premières fonctions 



c,|(^^^ ,,^) ^c^KH-^^)W~^'^) ([^- = 0, I, ..., 4) 



hyperelliptiques fondamentales du premier ordre en séries trigonomé- 

 triques. Il n'en est pas de même pour les dix autres fonctions fondamen- 

 tales, dont la forme d'après Weierstrass est la suivante : 



^^v(<'n ''2) __ ( g^j, — ■:?'i ) ( «p. — .^'o ) ( X; — ^1 ) ( gy — X-i ) 



X 



J 3'-(j. — ^«"i ) ( «V — X^ ) ( a,j, _ a-, ) ( «v — ■3?2 ) J 



(p., V = o, I, . . ., 4; y, <v), 

 C. R., 1907, I" Semestre. (T. CXLIV, N° 17.) I16 



