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OÙ CjjLv, ainsi que c^ plus haut, désignent des constantes, dont les valeurs 

 sont bien connues (voir, par exemple. Journal de Crelle, t. 112, p. 89). En 

 effet, il est aisé de voir que, dans l'intégrale double donnant le coefficient 

 général du développement, les intégrales ne se séparent pas, ce qui arrive 

 dans tous les cas considérés par M. Appell. Nous évitons ces difficultés par 

 l'introduction des intégrales de seconde espèce. 



Prenons d'abord les deux intégrales normales de première espèce sous 

 la forme 



J \/^{^^-) J v^m^ 



et le système des équations hyperelliptiques sous la forme 



r""' dx r^'"- dx 



Z'^' X dx f'^ X dx 



— Y„ + y, '^ + y 2^' + y:i^^ -+- yi^^ + ^\ 



^0 > a, > ao > o'-3 > a, > O, 

 on aura pour périodes des intégrales normales respectivement 



dont les valeurs seront 



I , o, '^4 ) » '^12» 



Oj I , '^12» '^aa» 



r r I r r 



C0T,2 = t0^2^'->i ■) ''•*l2^'^o.i = <^'->M <'^.)| ^21^11' ^'■* ~^ ^n ^22 '^'•'l 2^'^2l 7^ 'N 



''"' dx r '' dx r ' X dx r ' X dx 



r"^-' dx r"^" dx /•""- xdx /""' , 



'' ' ^ dx , . r ' X dx . r ^ X dx 



'•/ 



^2, = -'/ ./ ^, : ^ ^'^22 = -'/ +^ 



J ^^^ V/~R(^) J^^ V-R(^) J«„_ V/-I-H^'} 



et où y/± K(a;) désigne la valeur numérique positive de la racine carrée. 

 De plus on aura 



2a>A,, = C022; '2(oA,2= — <^i2» 2a)A2i = Wj, ; 2coA22=^ — ^n • 



