SÉANCE DU 29 AVRIL I907. 89I 



Appelons de même respectivement les périodes de deux intégrales de 

 seconde espèce 



r x'' cLr r x^dx 



J v/RT^)' J v^Rû)' 



'/i I I ' '"h 2 » '''11' '^' \x^ 



"^215 '^2.1^ ''•>(' '22' 



on aura alors des formules de M. Weber(voir J. de Crelle, t. 82), écrites 

 sous une forme un peu modifiée, 



où (a ayant les valeurs i et 2) 



Dans le second membre de l'équation (A) on peut obtenir le dévelop- 

 pement de la fonction {x, — x.^'' [yRÔ^ — vR(^]' du type étudié par 

 M. Appell {loc. cit., p. i39); quant aux fonctions Z^U'o^,), elles jouissent 

 de la propriété 



Za(^. + -pi. <^2 + -^2) = Za(^,, ^3.)— 27^«£ap; (^' ^ =1,2); 



I, quand a = [i, 

 o, quand ol^ ^\ 



et elles peuvent être aussi développées en séries trigonométriques par une 

 voie analogue à celle de M. Appell. 

 En posant 



rp^'\ ^)log-^5(''i, ''2) _. y p(a>^^ g2»,7r/V+2«^u.V^ (^3^_^^o-)^ 



on aura les formules 



^aP 



' ' p(2) _/_iV.2-i ^'-^- + ^-^^'-- 



où l'on a 



■"1 



