892 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



, a.. 



œ 



dx 



,V(J.-) 



a. 





Les formules (B) sont valables pour toutes les valeurs de /?, et n^, 

 excepté le cas de n^ = 71.2= o, cas qui se traite directement. La valeur 

 de P'*'o n'est pas pour la suite nécessaire. Les développements des dix 

 autres fonctions en question s'obtiennent à l'aide d'une formule de 

 M. Baker (voir Abelian Functions, p. 329) 



OÙ les constantes à^'^\ é^Ç^ sont connues et où entrent les secondes 

 dérivées logarithmiques des fonctions thêta. Le développement de ces 

 dernières fonctions s'obtient par différentiation des séries (A'). On voit 

 donc finalement que le développement des quinze fonctions hyperellip- 

 tiques du premier ordre n'exige que l'introduction d'une seule constante 

 inconnue tt, ou 7^2 respectivement d'ailleurs variable avec /z, et n^- En 

 effet, ces deux constantes étaient déjà rencontrées par M. Appell dans les 

 développements de deux fonctions symétriques x^x^ et x^ -h ^2, on a entre 

 elles la relation trouvée par M. Appell {loc. cit., p. 1 21-122) 



-,(^, A,, — /ZoAo,) + -2('^ '•^12 — n.,k.,^) =^ o^ 



. , .p , . . i I I 1 1 ^' lo2-^5( '^n ''2) 



qui se trouve vérifiée ici en comparant les deux valeurs de \,\! ' 



GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces engendrées par une hélice circulaire. 



Note de M. E. Barré. 



Dans l'énoncé du théorème lY qui termine ma précédente Communica- 

 tion sur ce sujet, j'ai fait abstraction d'une solution constituée par des sur- 

 faces engendrées par une hélice imaginaire dont le plan de base est tangent 

 au cercle de l'infini. Cette solution se présente dans d'autres questions que 

 nous rencontrerons dans la suite. J'en ferai toujours abstraction dans mes 

 énoncés. 



IV. Composantes d'un déplacement élémentaire suivant la tangente à l'hé- 

 lice génératrice qui passe par son origine et suivant la tangente à la trajec- 



