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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles du second oi^dre 

 et du premier degré dont l'intégrale générale est à points critiques fixes. 

 Note de M. Bertrand Gambier, présentée par M. Painlevé. 



Pour achever Ténumération des équations du deuxième ordre et du 

 premier degré à points critiques fixes, il me reste à examiner deux cas : les 

 deux cas oij, dans l'équation 



y" = A(j, œ)y' + B(j, x)y + C(j, x), 



A est réductible par une transformation (calculable algébriquement) 

 \^p{^)y + ^(^)] Y = l{x)y H- m(x) à une des deux formes 



3 / I I \ 2 I 



ou -JT-TT + 



[^\Y ' Y — iJ 3Y ' 2(Y-i) 



1. Cas oit k ^^ -ri 1 ) • — L'équation est alors de la forme 



^\y y — ^J ^ 



3/1. ^ \ ,2 . f i> c 





I, b"- c'- 



y(y-~i) diy- - + -^ - 



2/ y- (7-0' 7 7 — 1 



La substitution X.= 07, Yy = i ne change pas la forme de l'équation, 

 permute b et c, h et /'. Il y a trois cas à distinguer : b, c nuls tous deux; 

 by c tous deux non nuls; un seul nul, b par exemple, puisque l'on peut 

 permuter è et c. 



Le premier cas donne deux équations intégrables par les fonctions ellip- 

 tiques; la première, citée par M. Painlevé, à savoir [</(•>«?) désignant une 

 fonction analytique de x\ a, p, y constantes numériques] 



/'= ^ (3;+ 3^) r +?(*•)/. 



Si bc ■=j=- o, les six coefficients a, b, c, d^ h, k sont liés par cinq relations 



