SÉANCE DU () MAI I907. 968 



dont j'écris trois 



C ib(^a + c) — 2J)' -^ h -h ib-= o, ida — d' = o, 



(2) l 



( 2c(a -+- b) ~ 2c' -+- k -+- ic- :=o. 



Pour simplifier les notations je pose b — c^ — 3r, d=8D^; je fais la 



transformation 



, v' + 2 6 y' — 2 c , 



y '~y 



d'oii 



\{u^rY-W'\{iy-i)^u'-r'-a(^u-r), 



u" z=z 2 w^ H- ( 2 è + 2 c H- 3rt) i'^' + 



L'équation en u donne la solution; c'est l'un des types étudiés par 

 M. Painlevé, elle prend la forme la plus simple possible quand 



ib -\- ic -\- "5 a — o ', 



je suppose cette condition remplie, sinon je ferais 



j = Y, X = <p(^), ii = \]^'{x), 



avec (2Z> + 2C h- 3a)(p' — 3(p"= o et je raisonnerais sur l'équation trans- 

 formée. L'équation en u coïncide alors avec l'un des trois types u" = iu^ , 

 ou ?/'= 2M^ + ocM + ^, ou u" = lia ^ xu -^ GL\ en exprimant ces condi- 

 tions, on calcule explicitement les coefficients au moyen de deux intégrales 

 particulières z/, et Wo de l'équation en m, comme j'ai expliqué dans la Noie 

 précédente [par exemple si D :^ o, on a -ir = u^ -\- lu, 2D = m, — Wj» ^'où 

 a par aT)t — D'= o, Z> et c par b — c =^ — 3/-, 2/; h- 2c -1- 3« = o, puis h et^ 

 par (2)]. 



Enfin, si è = o c ^ o, on a ou bien h = o, auquel cas l'équation rentre 

 dans le cas précédent, ou bien h:^ o avec ih(a + c) = A' et les deux der- 

 nières relations (2). On obtient alors cinq équations, réductibles par des 

 opérations analogues aux précédentes k u" = 2u^, ou u" = 2U^ -\- u ^ ^ ou 



u" = 2,11^ -h iX)u — - s\ d = o, el k u" := 2. u^ -{- œu -\- I ou u" = 1U^ + Xll -\- OL 

 si d ^ o. 



1 



2. Cas où A= T, 1 : r- — L'équation est de la forme 



3j '2{y — i) ^ 



^^ > rSa^ „ 3c^ Il k h 1 . . 



+ l_^J + / + yr + (y^T7 + ^ + Siy^J^Cr - •)■ 



