q64 académie des sciences. 



Entre les six coefficients a, h, c, /, h, k il y a cinq relations dont j'écris 

 trois 



j 2.h{a + b -^ c) — h'= o, ik -^ 3c- + G(/>c — c) = o, 



j l\f -h 3a- + 6(ab — a') = o. 



(^) 



Pour des raisons et par une substitution analogues, je suppose de plus 

 -4- + ^ + 4 = o; je pose t = -^ - —, u = ---^ - j, 2^ = - 9H- et 

 j'effectue la transformation 



d'où 



r'=-3c + 3(.+ ^-5Jj + -rS 



^_,_ 3[(.-0^-H^] 



•^ 2[i^'-«'+/Ur-0]-[(<'-0'— H^]' 



^"=: — (V-t- r' — I 2 A (a?) ^ + iik'(x), 



A"=6A^-f-S, S = o, y, ou X. 



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L'équation en ç donne la solution : M. Painlevé l'intègre en écrivant 



v' -h ç- = G(s H- A), d'où 



z"=6z^-hS et (z.-\)v = z.'-^'. 



En écrivant que l'équation en ç coïncide avec la forme indiquée, on cal- 

 cule explicitement tous les coefficients au moyen de la fonction auxi- 

 liaire A et de deux nouvelles fonctions B et C, toutes trois intégrales parti- 

 culières de 5" = 6:;" H- S. 



Par exemple, si A :^ o, on a 



^ + H - ^\og(B - A), ^ - H - ^log(C-A), H^ + H'- o 



qui donnent t. H, u et, par suite, tous les autres coefficients' en vertu des 

 relations que j'ai données; dans ces formules, on peut supposer que R 

 ou C, ou toutes deux tendent vers la fonction A; les équations correspon- 

 dant a h = o s'obtiendront comme dégénérescences des précédentes en 

 faisant tendre C vers B. 



