SÉANCE DU 6 MAI 1907. 960 



GÉOMÉTRIE. — Sur certaines congruences de droites. Note de M. Ch. Michel, 



présentée par M. Appell. 



T. Soient deux surfaces réglées S et S,. Si je fais correspondre d'une 

 manière quelconque à toute droite G de la surface S une droite G, de la 

 surface S,, je puis énoncer le théorème suivant : 



La détermination des courbes C tracées sur la surface S et telles que la tan- 

 gente à l'une d'elles au point d'intersection avec G rencontre G, dépend de 

 l'intégration d'une équation de Riccati. Le rapport anharmonique des points 

 d'intersection de quatre courbes C avec une droite variable G est constant. 



Si la surface S,, variant d'une manière continue, vient à coïncider avec 

 la surface S, de manière que G, vienne à coïncider avec G, les courbes C 

 deviennent les lignes asymptotiques de la surface S, autres que les droites G. 

 On a ainsi un théorème énoncé par M. Picard dans son Mémoire sur une 

 Application de la théorie des complexes linéaires (^Annales de V Ecole normale 

 supérieure, 1877). 



Si, S, élant quelconque, S est une surface développable, on obtient un 

 théorème démontré par M. Darboux (^Leçons sur la théorie générale des sur- 

 faces, t. II, p. i4-i5). 



II. Soit un complexe linéaire. S étant une surface quelconque engendrée 

 par une droite G, prenons pour surface S, la surface engendrée par la 

 droite G<, conjuguée de G par rapport au complexe. J'ai alors le théo- 

 rème suivant : 



La détermination des courbes C, tracées sur la sur/ace S, dont les tangentes 

 font partie d'un complexe linéaire donné, dépend de l'intégration d'une équa- 

 tion de Riccati. 



Si la surface S est un cône, les courbes C s'obtiennent par une simple 

 quadrature. En transformant par polaires réciproques, on voit que les dé- 

 veloppables qui passent par une courbe plane, et dont les génératrices rec- 

 tilignesfont partie d'un complexe linéairedonné, dépendent aussid'unequa- 

 drature. En particulier, les développables isotropes, dont les génératrices 

 rectilignes font partie d'un complexe linéaire, ont pour arêtes de rebrous- 

 sement les hélices de longueur nulle tracées sur le cylindre, de révolution 

 autour de l'axe du complexe, qui est le lieu des droites conjuguées par rap- 

 port au complexe des tangentes au cercle de l'infmi. 



III. La tangente à une courbe C précédente au point M de rencontre avec 



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