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les fonctions uniformes. Je veux actuellement faire connaître que ce 

 résultat n'est qu'une circonstance particulière d'un autre résultat plus 

 précis et que ce qui caractérise ce cas d'exception tient à un fait général 

 concernant la croissance de la dérivée (p^^)- 



2. Si/(z) croît comme e^^''\ il est clair que (p,(-) croît comme ii.(r). Je 

 démontre le théorème suivant : 



Théorème I. — La dérivée (f[{z) croît comme e^''), sauf peut-être pour une 

 valeur a. i. Ce cas exceptionnel est unique; s'il existe, le nombre correspon- 

 dant pourrait être appelé doublement exceptionnel. Comme il existe des 

 transcendantes algébroïdes ayant plusieurs valeurs exceptionnelles ordi- 

 naires, ce théorème nous fait connaître des fonctions ayant un nombre 

 infini Ag branches croissant beaucoup plus lentement que leurs dérivées; 

 ainsi, <pi(s) croissant comme [/.(r), sa dérivée croît comme e'^''''; il peut y en 

 avoir un cas d'exception unique. 



Pour comprendre l'intérêt de ce résultat, rappelons-nous que l'ordre de 

 grandeur des transcendantes algébroïdes n'est jamais inférieur à celui de 

 leurs dérivées, comme je l'ai démontré dans mon travail plus haut cité 

 \Sur les fonctions ayant un nombre fini de branches {Journal de Mathéma- 

 tiques^. 



Remarquons encore que ces transcendantes non algébroïdes 9,(:5) se 

 présentent comme des intégrales de fonctions algébroïdes. 



Nous pouvons même indiquer des fonctions d'ordre de grandeur m{r), 

 dont la dérivée croisse comme 



le nombre des exponentielles superposées étant aussi grand que l'on 

 voudra. Si nous posons 



f{z)-a.^q{z)e-'\ 



la fonction ^2(5) peut admettre des infinis à distance finie, mais cela n'em- 

 pêche pas de considérer l'ordre de grandeur \>.^{r) de tp^C^) pour r crois- 

 sant indéfiniment : une exclusion du voisinage immédiat de ces infinis, 

 analogue à celle qui a été employée par MM. Borel etBoutroux ('), nous 



(') Borel, Leçons sur tes fonctions méroniorphes. — Boltroux, Sur quelques 

 propriétés des fonctions entières (Thèse, de Doctorat). 



