SÉANCE DU 3 SEPTEMBRE 1906. Sgî 



fournirait un champ d'étendue convenable pour notre but. Cela posé, 

 nous démontrons le théorème suivant : 



Théorème II. — La dérivée <p!,(z) croît comme e' ' ; il peut y en avoir 

 exception pour une, an plus, valeur exceptionnelle a. 



D'une façon générale, si nous posons 



f{z)-x = <^{z)e--' , 



le nombre des exponentielles superposées étant n, et que nous désignions 

 par ,".„('■) l'ordre de grandeur de cp„(z), nous démontrons encore que la 

 dérivée <p„(=) croît comme 



le nombre des exponentielles superposées étant aussi n, sauf, peut-être, pour 

 une, au plus, valeur exceptionnelle x. 



L'ordre de grandeur de la dérivée <?,',(-) a un sens bien déterminé, puis- 

 qu'elle se présente comme une fonction rationnelle de fonctions d'ordre 

 de grandeur bien déterminé. 



Notre méthode fournit donc des fonctions d'ordre de grandeur aussi 

 inférieur que l'on voudra à celui de leurs dérivées. 



3. Les théorèmes énoncés dans cette Note, qui comprennent comme 

 cas particulier le théorème classique de M. Picard et ses généralisations, 

 peuvent être aussi énoncés comme une propriété de la dérivée logarith- 

 mique de la fonction /{z) — x ou bieny(3) — '^(z), x désignant une con- 

 stante et (j;(s)une algébroïde d'ordre de grandeur inférieure celui de /(z); 

 ainsi ces théorèmes peuvent prendre une forme unique, intéressante et 

 simple, à savoir : 



La dérivée logarithmique de /(z) — a ou /(z) — 'K-) ^^ saurait croître 

 moins vite que /(z) pour plus d'une valeur de x et, en général, pour deux 

 Jonctions différentes ']/(s). 



Cet énoncé ne suppose pas du tout que oc est une des valeurs exception- 

 nelles ordinaires, puisqu'on voit aisément qu'il en est bien ainsi, lorsque 

 la dérivée logarithmique <\fi f(^z^ — a croît moins vite que y"(::). 



Il y a là la forme sous laquelle le théorème de M. Picard et ses généra- 

 lisations s'étendent à toutes les transcendantes algébroïdes sans aucune 

 modification. 



