20 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



En résumé, les courbes trajectoires ne peuvent être des cercles que si la 

 fonction_/(a:;, j, s) satisfait à l'équation aux dérivées partielles 



= = ce- -h y- -h :■- — />•-. 



Dans ce cas, les formules (9) avec la forme particulière (10) de la fonc- 

 tion (p(h) représentent ce système cyclique dépendant encore d'une fonc- 

 tion arbitraire de deux variables. 



ARITHMÉTIQUE. — Sur la classification des irralinnnelles. Note de 

 M. En. Maillet, présentée |)arM. Jordan. 



Soit 1 = «0 + I :a, + I :a2 -h. ..+ !:««-<-... une irrationnelle positive 

 développée en fraction continue (a„ entier positif ]> o); si, quand n~^v, 



et, pour une infinité de valeurs rt, de n, 



(2) fl„,>e,(«,)P-^ 



(j fixe positif aussi petit qu'on veut pourvu que c soit assez grand), I est dit 

 d ordre {k, p) dans la première classijicalion des fractions continues; la 

 deuxième classification s'obtient en remplaçant ci-dessus e/((n)f*^ par 

 e,(«P-) (-). _^ 



Ceci pose, j'ai obtenu les résultats suivants : 



I'remière classification. — I est un nombre de Liouville quand 



(A, p)>(3, o), 

 et n'en est pas un quand 



(X-, p)<(i,:c). 

 Lorsque k = 2 et que o est fini, les deux cas sont possibles. 



(') J'écris d'abord e/..(x) = e''i-i'-^> (/positif ou négatif), e_, (,r) =; loga-, e„(jr)^.r, 

 e,(.r) =: e-^, ensuite {A\ p) <(/■', p') quand A- =: A'' avec p < p', ou quand /:<A'. Un 

 nombre de Liouville est un nombre irrationnel tel que, pour une infinité de valeurs 

 (le /«, 1 1 — ],„ I < Q"", S! grand que soit le nombre fixe a > o, Q„, étant le dénomi- 

 nateur de la n''""" léduite I,,, de I : c'est un nombre transcendant. 



